(教案)第4章 4.4 4.4.2 对数函数的图-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质 学习任务目标 1．理解对数函数的性质； 2．会解决与对数函数结合的复合函数的单调区间、值域、奇偶性问题； 3．知道同底的指数函数与对数函数互为反函数. 1．对数函数的概念是什么？ 答案：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的由来是什么？ 答案：根据指数与对数的关系，由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)得到x＝logay，进而得到对数函数y＝logax. 3．指数函数的图象与性质的研究方法和过程是什么？ 答案：先根据解析式画出函数图象，然后借助图象归纳概括其性质． 知识点一　对数函数的图象与性质 1．因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点(x，y)关于x轴对称的对称点(x，－y)都在y＝x的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 2．对数函数的图象与性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 图象 值域 R 定义域 (0，＋∞) 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] [微训练] 函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　) A．(1,1) B．(2,1) C．(1,2) D．(2,2) B　解析：真数为1时，对数为0，所以令x＝2，则f(x)＝1. 知识点二　反函数 一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称． [微训练] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．x D．2x－2 A　解析：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax.又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2. 故f(x)＝log2x. 2．下列函数中，与函数y＝lg x互为反函数的是(　　) A．y＝10x B．y＝10－x C．y＝－lg x D．y＝lg(－x) A　解析：由y＝lg x得x＝10y. 对换x，y的位置可得y＝lg x的反函数为y＝10x.所以与函数y＝lg x互为反函数的是y＝10x.故选A. 对数函数的图象问题 请观察对数函数的图象，思考下列问题： 探究1：对数函数y＝logax的图象不经过第几象限？ 提示：从对数函数的图象上观察可知：对数函数的图象不经过第二、三象限． 探究2：根据对数函数的图象在第一、四象限，你能得到对数函数的哪些性质？ 提示：因为图象在y轴的右侧，所以零和负数没有对数． 探究3：对数函数中底数a的取值影响着图象的变化特点及函数值的取值的特点，具体有哪些影响呢？请完成下表： 底数a a>1 0<a<1 图象 从左向右看是________ 从左向右看是________ 函数值 若x>1，则________； 若0<x<1，则________ 若x>1，则________； 若0<x<1，则________ 提示：(1)图象：当a＞1时，图象从左向右看是上升的；当0＜a＜1时，图象从左向右看是下降的． (2)函数值：当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0. 当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0； 若0＜x＜1，则y＞0. 答案：上升的　下降的 y＞0　y＜0　y＜0　y＞0 【例1】(1)图中曲线分别表示y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d的关系是(　　) A．0＜a＜b＜1＜d＜c B．0＜b＜a＜1＜c＜d C．0＜d＜c＜1＜a＜b D．0＜c＜d＜1＜a＜b (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________. (3)已知f(x)＝loga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． (1)D　解析：由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向x轴靠近， 所以0＜c＜d＜1＜a＜b.故选D. (2)(0，－2)　解析：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)．在y＝loga(x＋1)－2中，令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2.所以函数y＝loga(x＋1)－2的图象恒过点(0，－2)． (3)解：因为f