(教案)第4章 4.3 4.3.2 对数的运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.3.2　对数的运算 学习任务目标 1．理解并掌握对数的运算法则； 2．理解并掌握换底公式； 3．能运用对数的运算法则及换底公式进行计算或证明. 1．指数式ax＝N化为对数式为logaN＝x. 2．实数指数幂的运算性质： (1)a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)aman＝am＋n(a>0)； (3)＝am－n(a>0)； (4)(am)n＝amn(a>0)； (5)(ab)r＝arbr(a>0，b>0)． 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (√) (2)loga(xy)＝logax·logay. (×) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)． (×) 2．计算log84＋log82的结果等于(D) A．log86 B．8 C．6 D．1 3．计算：log510－log52＝1. 知识点二　对数换底公式 若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1， 则有logab＝. 特别地，logab·logba＝1. [微训练] 1．计算：log23×log32＝1. 2．log29×log32＝________. 2　解析：log29×log32＝×＝2. 对数运算性质的应用 观察对数的运算性质： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM. 其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，思考下列问题： 探究1：对于性质(1)，当M，N同号时成立吗？ 提示：不一定成立．如lg[(－5)(－3)]有意义， 而lg(－5)，lg(－3)无意义． 探究2：逆用性质时，还需要M>0，N>0吗？如应用logaM＋logaN＝loga(MN)时． 提示：不需要，因为logaM，logaN有意义，就有M>0，N>0. 1．若lg 2＝a，lg 3＝b，则＝(　　) A． B． C. D． B　解析：＝＝＝. 2．计算： (1)log345－log35； (2)log2(23×45)； (3)； (4)log29·log38. 解：(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2. (2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213 ＝13log22＝13. (3)原式＝ ＝＝ ＝＝. (4)log29×log38＝log232×log323 ＝2log23×3log32＝6log23×＝6. 对数换底公式 【例1】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)． 解：(1)(方法一)原式＝ ＝ ＝log25×(3log52) ＝13log25×＝13. (方法二)原式＝＝＝＝13. (2)因为18b＝5，所以log185＝b. (方法一)log3645＝＝ ＝＝. (方法二)因为＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， 同理得lg 5＝blg 18， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. 【类题通法】 应用换底公式应注意的两个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 求值： (1)log23×log35×log516； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)． 解：(1)原式＝××＝＝＝4. (2)原式＝ ＝＝×＝. 对数在实际中的应用 【例2】20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的(　　) A．30倍 B．lg 30倍　 C．100倍 D．1 000倍 D　解析：设8级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2， 则lg ＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)＝8－5＝3，所以＝103＝1 000.故选D. 射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的