(教案)第4章 4.3 4.3.1 对数的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.3　对数 4.3.1　对数的概念 学习任务目标 1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算； 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化； 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法. (1)若5x＝625，则x＝4. (2)若2x＝，则x＝－6. (3)若27x＝，则x＝－. 知识点一　对数的有关概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数 (3)对数与指数间的关系 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. [微训练] 1．logbN＝a(b>0，且b≠1，N>0)对应的指数式是(B) A．ab＝N B．ba＝N C．aN＝b D．bN＝a 2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则有(B) A．log2M＝a B．logaM＝2 C．loga2＝M D．log2a＝M 知识点二　对数的性质 (1)负数和0没有对数，即logaN中N必须大于零． (2)1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1). (3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (4)对数恒等式是alogaN＝N(a＞0，且a≠1)． [微训练] 1．4log43＝3. 2．ln 1＝0，lg 10＝1. 对数的概念 观察ab＝N与b＝logaN，思考下列问题： 探究1：为什么对数logaN只有在a＞0，a≠1且N>0时才有意义？ 提示：当a＜0时，N为某些值时，b的某些值不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log－23不存在，为此规定a不能小于零；再由指数函数的定义可知，N不能小于等于零．若a＝0，且N≠0时，logaN不存在，如0－2没意义，所以规定a≠0.若a＝1，且N不为1时，logaN不存在，如1x＝2不成立，所以规定a≠1. 探究2：对数定义与指数定义的相同点是什么？ 提示：相同点是a＞0，a≠1. 1．对数式log(x－2)(x＋2)中，实数x的取值范围是________. (2,3)∪(3，＋∞)　解析：由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)． 2．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________. 　解析：因为4a＝2，所以a＝. 又lg x＝a，所以x＝10a＝. 3．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝；(2)32＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2. 解：(1)由2－7＝，可得log2＝－7. (2)由32＝－5，可得－5＝32. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 指数式与对数式的互化求值 【例1】求下列各式中的x的值． (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27； (4)x＝16. 解：(1)由logx27＝，可得x＝27， 所以x＝27＝(33)＝32＝9. (2)由log2x＝－，可得x＝2， 所以x＝＝＝. (3)由x＝log27，可得27x＝， 所以33x＝3－2，所以x＝－. (4)由x＝16，可得x＝16， 所以2－x＝24，所以x＝－4. 1．已知log2m＝2.020，log2n＝1.020，则等于(B) A．2 B． C．10 D． 2．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m－n＝. 应用对数的性质求值 【例2】设5log5(2x－1)＝25，求x的值． 解：因为5 log5(2x－1)＝25，所以2x－1＝25，解得x＝13. 【例3】求下列各式中x的值． (1)log5(log3x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)ln[log2(lg x)]＝0. 解：(1)设t＝log3x，则log5t＝0，所以t＝1， 即log3x＝1，所以x＝3. (2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝3， 所以x＝103＝1 000. (3)因为ln[log2(lg x)]＝0，所以log2(lg x)＝1， 所以lg x＝2，所以x＝102＝100. 【例4】若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值． 解：因为log2[log3(log4x)]＝0， 所以log3(log4x)＝1.所以log4x＝3.所以x＝43＝64. 同理求得y＝16.所以x＋y＝80. 【类题通法】 利用对数性质求解的两类问题的求解策略 (1)求多重对数式的值． 其策略为由内向外，如求loga(logbc)的值，先求logbc 的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量．