(教案)第4章 4.2 4.2.2 指数函数的图象和性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.2.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 学习任务目标 1．掌握指数函数的图象和性质； 2．能解决简单的指数型函数的定义域、值域、单调性问题. 1．点(1,2)与点(－1,2)关于y轴对称． 2．点(2,4)与点(－2,4)关于y轴对称． 3．点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称． 4．y＝x3的图象与y＝－x3的图象关于y轴对称． 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质 1．若点(x，y)在指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象上，则点(－x，y)在指数函数y＝x的图象上．反之亦然，即底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x轴的上方． (√) (2)当a>1时，对于任意x∈R总有ax>1. (×) (3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数． (×) 2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为________. (－∞，0)　解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0. 指数型函数的定义域 1．y＝0.3的定义域为________. {x|x≠1}　解析：由x－1≠0得x≠1.所以函数的定义域为{x|x≠1}． 2．y＝3的定义域为________. 　解析：由5x－1≥0得x≥. 所以函数的定义域为. 指数函数图象的简单应用 【例1】函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________. (3,4)　解析：(方法一)因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)． (方法二)将原函数变形，得y－3＝ax－3.把y－3看成关于x－3的指数函数，所以，当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)． 【例2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c B　解析：(方法一)在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． 由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.所以b＜a＜1＜d＜c. (方法二)作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点．因为x＝1时的函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大．由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B. 若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　) A．第一、二、三象限　 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限　 D．第一、二、四象限 A　解析：因为a>1，且－1<b<0，故函数y＝ax＋b的大致图象如图所示，在第一、二、三象限． 利用指数函数的单调性比较大小 探究1：比较32与3，23与()3可分别依赖于哪个量构造指数函数？ 提示：依赖于两个数的幂底数，当两个数的幂底数相同，幂指数变化时，可构造一个指数函数比较大小．比较32与3可构造函数y＝3x，比较23与()3的大小可先把()3转化为2，构造函数y＝2x. 探究2：若能构造出一个指数函数，如何判断该函数的单调性？ 提示：可根据指数函数的幂底数与1的大小关系判断该函数的单调性． 探究3：依据指数函数的性质，如果两个指数幂底数不同，寻找的中间量可能是多少？ 提示：由于无论指数函数的底数是大于1，还是大于0且小于1，函数的图象都过点(0,1)，所以中间量一般可考虑1. 【例3】比较下列各组数的大小． (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)． 解：(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值．由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数．因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值．因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6