(教案)第4章 4.2 4.2.1 指数函数的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 学习任务目标 1．理解指数函数的概念； 2．了解对底数的限制条件的合理性； 3．会解决简单的指数增长问题. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩余的这种物质是原来的84%，那么经过x年后，剩余量y与x的关系是什么？ 答案：经过1年，剩余量为y＝1×84%＝0.84； 经过2年，剩余量为y＝0.84×0.84＝0.842； …… 经过x年后，剩余量y＝0.84x. 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. [微训练] 1．下列各函数中，是指数函数的是(D) A．y＝(－2)x B．y＝－3x C．y＝41－x D．y＝3x 2．若函数y＝(2m－5)x是指数函数，则实数m的取值范围是∪(3，＋∞). 知识点二　指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． [微训练] 1．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%.设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y之间的函数关系为(　　) A．y＝0.957 6 B．y＝0.957 6100x C．y＝x D．y＝1－0.042 A　解析：特殊值法，将(0,1)和(100,0.957 6)代入各选项，只有A正确． 2．某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x之间满足关系y＝ ax＋b.现已知该厂今年1月份、2月份分别生产该产品3万件、5万件，则此工厂3月份生产该产品________万件． 8　解析：由已知得解得所以y＝×x－1.当x＝3时，y＝8. 指数函数的概念及解析式 体会指数函数的实际背景，观察指数函数的解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)．思考下列问题： 探究1：在指数函数y＝ax中，为什么要规定a＞0，且a≠1呢？ 提示：若a＝0，当x＞0时，ax恒等于0， 当x＜0时，ax无意义；若a＜0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝，，，…，在实数范围内函数值不存在；若a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它没有研究的必要．为了避免上述情况，所以规定a＞0，且a≠1. 探究2：指数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？ 提示：指数函数的解析式具有以下三个特征： ①底数位置是大于0且不等于1的常数，底数中不含变量； ②指数位置是自变量x，且其系数等于1； ③ax的系数等于1. 1．下列函数：①y＝2×3x，②y＝3x＋1，③y＝3x， ④y＝x3中，指数函数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：3x的系数是2，故①不是指数函数； y＝3x＋1的指数是x＋1，故②不是指数函数； ③中，y＝3x是指数函数； y＝x3中，底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以指数函数的个数是1. 2．若函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 C　解析：由指数函数的定义知解得a＝3. 3．已知指数函数y＝f(x)，且f(2)＝4，则f(3)的值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．1 B　解析：设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍)． 所以f(x)＝2x.所以f(3)＝23＝8. 指数增长模型 探究1：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，y与x之间的函数关系式是什么？ 提示：y＝N(1＋p)x. 探究2：设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，y与x之间的函数关系式是什么？ 提示：y＝N(1－p)x. 【例1】西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%.若按此规律，设2021年的森林面积为m，从2021年起，经过x年后森林面积y与x的函数关系式为(　　) A．y＝ B．y＝m C．y＝m(1＋5%) D．y＝[1＋(5%)x]m C　解析：设平均每年增加a%，则(1＋a%)20＝1＋5%，所以1＋a%＝(1＋5%)，可知，经过x年后森林面积y与x的函数关系式为y＝m(1＋5%). 【例2】雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多．据不完全统计，某地从2017年到2021年间，患呼吸道疾病的人数平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2016年开始经过x(x∈N*)年，患呼吸道疾病的人数为y，设2021年患病人数为11万．(参考数据：1.023≈1.06，1.025≈1.1) (1)试计