(教案)第3章 3.4 函数的应用(一)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.4　函数的应用(一) 学习任务目标 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用； 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 知识点　函数的模型 1．一次函数模型 形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0. 2．二次函数模型 (1)解析式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或y＝a2＋(a≠0)． (2)条件：a≠0. 3．幂函数模型 (1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)． (2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． [微训练] 1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　) A．y＝20－x,0<x<10 B．y＝20－2x,0<x<20 C．y＝40－x,0<x<10 D．y＝40－2x,0<x<20 A　解析：依题意，得2x＋2y＝40，所以y＝20－x,0<x<10. 2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．分段函数模型 D．无法确定 C　解析：由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型． 3．某人开汽车从A地出发，以80 km/h的速度经2 h到达B地，在B地停留2 h，则汽车离开A地的距离y(单位：km)是时间t(单位：h)的函数，该函数的解析式是y＝. 一次函数模型 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数解析式是(　　) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) D　解析：因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)．所以路程y与时间t之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)． 2．某厂日生产文具盒的总成本y(单位：元)与日产量x(单位：套)之间的关系为y＝6x＋30 000，而文具盒的出售价格为每套12元．要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　) A．2 000套 B．3 000套　 C．4 000套 D．5 000套 D　解析：设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000.由z≥0，解得x≥5 000.故至少日生产文具盒5 000套． 3．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．若购买1 000吨，则每吨800元；若购买2 000吨，则每吨700元．某客户购买400吨，其价格为每吨________元． 860　解析：设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000.所以y＝－10x＋9 000.令－10x＋9 000＝400，解得x＝860. 二次函数模型 【例1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式． (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式． (3)当每箱苹果的售价为多少元时，该批发商可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)， 即y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，该批发商可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 1．某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y1＝－5x2＋900x－16 000，y2＝300x－2 000，其中x为销售量．若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为(　　) A．11 000元 B．22 000元　 C．33 000元 D．40 000元 C　解析：设两个店分别销售出x辆与(110－x)辆电动车，则两店月利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000.所以，当x＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元． 2．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个．若销售单价每涨1元，则其销售量就减少