(教案)第3章 3.2 3.2.2 奇偶性-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.2.2　奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 学习任务目标 1．理解奇函数、偶函数的概念； 2．掌握判断某些函数奇偶性的方法； 3．掌握奇偶函数的图象特征； 4．会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性. 1．已知f(x)＝3x，画出函数图象，并求f(2)，f(－2)，f(－x)． 答案：图象如图： f(2)＝6，f(－2)＝－6，f(－x)＝－3x. 2．已知g(x)＝2x2，画出函数的图象，并求g(1)，g(－1)，g(－x)． 答案：图象如图： g(1)＝2，g(－1)＝2，g(－x)＝2x2. 知识点一　函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象 特点 关于y轴对称 关于原点对称 知识点二　奇偶函数的运算性质 在公共定义域内，(1)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； (2)两个偶函数的和、积都是偶函数； (3)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数． [微训练] 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 　　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　　 C　　 　 　　　　D B　解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性． 2．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 C　解析：因为奇函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝0，即a＝1. 3．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝4. 函数奇偶性的判断 1．函数f(x)＝|x|＋1是(　　) A．奇函数　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 B　解析：显然f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． 2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 B　解析：显然F(x)的定义域为(－a，a)，关于原点对称，∀x∈(－a，a)，都有－x∈(－a，a)，且F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．所以F(x)是偶函数． 3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是奇函数 B．|f(x)|g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．|f(x)g(x)|是偶函数 ABD　解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A项为奇函数，B项为偶函数，C项为奇函数，D项为偶函数．故选ABD. 奇偶函数图象的应用 观察以下两个函数图象的对称性，探究下列问题： 探究1：奇函数的图象关于原点对称，一定有f(0)＝0吗？ 提示：不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，即有f(0)＝0，否则图象不过原点． 探究2：偶函数的图象一定与y轴相交吗？ 提示：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝为偶函数，但图象与y轴不相交． 探究3：图象过原点的单调函数一定是奇函数吗？ 提示：不一定．图象过原点的单调函数的图象不一定关于原点对称，所以不一定是奇函数． 【例1】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称． 由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)． 【变式探究】将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． 解：(1)如图． (2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值范围为(－5，－2)∪(2,5)． 下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________.(填序号) ②④　①③　解析：①③关于y轴对称，是偶函数，②④关于原点对称，是奇函数． 利用函数的奇偶性求值 【例2】 已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2.若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 7　解析：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数．所以f(