(教案)第3章 3.2 3.2.1 单调性与最大（小）值-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 学习任务目标 1．了解函数单调性的概念； 2．会利用函数图象判断一次函数、二次函数的单调性； 3．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性的定义判断、证明函数单调性的方法. (1)对于函数y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减小. (2)对于函数y＝x2＋2x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝－1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大. 知识点一　函数的单调性 前提条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D 条件 ∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)> f(x2) 图示 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 特殊 情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 [微训练] 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有(　　) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能 B　解析：因为函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，且x1<x2，所以f(x1)>f(x2)．故选B. 2．函数f(x)＝2在区间[－2,4]上(　　) A．单调递减 B．单调递增 C．先减后增 D．不具有单调性 D　解析：当x∈[－2,4]时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)＝2在[－2,4]上不具有单调性． 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. [微训练] 1．(多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，则其中的单调递减区间有(BD) A．[－4,1] B．[－4，－3]　 C．[－3,1] D．[1,4] 2．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调递减区间是________. (－∞，1]　解析：因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1]． 判断函数的单调性 1．(多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在区间[－5，－3]上单调递增 B．f(x)在区间[1,4]上单调递增 C．f(x)在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．f(x)在区间[－5,5]上没有单调性 ABD　解析：由图可知，f(x)在区间[－5，－3]上单调递增，在区间[－3,1]上单调递减，在区间[1,4]上单调递增，在区间[4,5]上单调递减，选项ABD正确．而单调区间不可以用“∪”连接，所以选项C错误． 2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 A　解析：因为－1<0，所以一次函数y＝3－x＝－x＋3在R上单调递减，B不符合．反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，C不符合．二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上单调递减，D不符合． 函数单调性的判断与证明 【例1】证明：函数f(x)＝x＋在区间(0,1)上单调递减． 证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·＝. 因为0＜x1＜x2＜1，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜1，则－1＋x1x2＜0， 所以＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)＝x＋在区间(0,1)上单调递减． 【类题通法】 利用定义证明函数单调性的步骤 用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上单调递减． 证明：设x1<x2≤－1，则 f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2) ＝2(x－x)＋4(x1－x2) ＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)． 因为x1<x2≤－1，所以x1－x2<0，x1＋x2＋2<0. 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减． 函数单调性的应用 探究1：若f(x)是R上的增函数，且x1>x2，则f(x1)与f(x2)的关系如何？若f(x)是R上的减函数呢？ 提示：由增函数的定义知，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)；而当f(x)是R上的减函数时，若x1>x2，则f(x1)<f(x2)．