(教案)第3章 3.1 3.1.2 函数的表示法-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 学习任务目标 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法； 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3．掌握求函数解析式的常见方法. (1)若一次函数的图象过点(1,3)和(－1,2)，则该函数的解析式为y＝x＋； (2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，它的最小值为－3，且它的图象经过点(1,5)，则这个二次函数的解析式为y＝2x2＋4x－1. 知识点　函数的表示法 [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示． (×) (2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． (×) 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________. [－2,3]　解析：由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]． 函数的表示方法 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4}) D　解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}．故选D. 2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) D　解析：结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0.故选D. 3．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A．1 B．2 C．4 D．5 B　解析：由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2， 所以f(f(1))＝f(4)＝2.故选B. 4．已知f(1－2x)＝，则f 的值为(　　) A．4 B． C．16 D． C　解析：根据题意，令1－2x＝，解得x＝， 故f ＝＝16. 函数的图象及应用 观察下面的函数图象并结合函数图象的定义，思考下列问题： 探究1：函数的图象是由什么构成的？请你列出几个(不少于5个)． 提示：略 探究2：作出一个函数的图象的一般方法是什么？ 提示：作函数的图象我们最常用的方法是描点法． 探究3：设y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等吗？说明理由． 提示：不相等．因为P是点的集合，即可得函数的图象，而Q是数的集合，即函数的值域． 【例1】作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)． 解：(1)列表： x 0 1 －2 3 y 0 －1 2 －3 函数图象是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}． (2)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 描点并用光滑的曲线连接，得函数的图象，如图． 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]． (3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 描点并用光滑的曲线连接，得函数的图象，如图． 图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分，由图象可得函数的值域为[－1,8)． 1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．R C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) C　解析：由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．画出下列函数的图象． (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②. 函数解析式的求法 【例2】 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 因为f(0)＝1，所以c＝1. 又因为f(x＋1)－f(x)＝2x， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理得2ax＋(a＋b)＝2x， 所以 解得a＝1，b＝－1， 所以f(x)＝x2－x＋1. 【例3】 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)． 解：方法一(换元法)： 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2， 所