(教案)第3章 3.1 3.1.1 函数的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念 学习任务目标 1．通过丰富的实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2．了解构成函数的三要素. 常见函数： ①一次函数的解析式为y＝ax＋b(a≠0)； ②反比例函数的解析式为y＝(k≠0)； ③二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数的概念 (1)定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． (2)记法：y＝f(x)，x∈A. (3)x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域． (4)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 知识点二　常见函数的定义域和值域 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax＋b(a≠0)． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，值域是B.当a>0时，B＝；当a<0时，B＝.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数ax2＋bx＋c(a≠0)． [微训练] 1．函数y＝－x2＋1的值域是{y|y≤1}. 2．函数y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}的值域是{2,3,4,5,6}. 函数的概念 1．下列表示y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A　解析：结合函数的定义可知A正确．故选A. 2．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ B　解析：x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一，故A项不符合．B项符合函数的定义.2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故C项不符合．－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故D项不符合． 3．下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) 　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　 C　　　　 　　　　D D　解析：根据题意，对于选项A，B中的两个图象，可以找到一个x与两个y对应的情形；选项C中的图象，当x＝0时，有两个y值对应；选项D中图象能表示y是x的函数．故选D. 函数的三要素 【例1】 已知集合A＝B＝{1,2,3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数． (1)函数的定义域是________. (2)这样的函数一共有多少个？ (3)函数的值域一共有多少种不同情况？ 解：(1)函数的定义域是{1,2,3}． (2)因为定义域中有三个元素1,2,3，其中每个元素都可以对应到集合B中的三个元素中的任意一个，所以对应关系f共有3×3×3＝27(种)，所以从集合A到集合B的函数共有27个． (3)将(2)中对应关系分为：一对一，多对一(二对一、三对一)． 若为一对一，值域有{1,2,3}，共1种情况； 若为二对一，值域有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3种情况； 若为三对一，值域有{1}，{2}，{3}，共3种情况．所以所求函数的值域共有7种． 函数y＝f(x)的图象如图所示，则定义域为{x|－2≤x≤3}，值域为{y|－1≤y≤3}，f(0)＝1，f(1)＝－1. 根据解析式构建问题情境 已知变量x，y满足式子y＝x(10－x)，若x∈{x|0<x<10}． 探究1：你能构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用y＝x(10－x)(x∈{x|0<x<10})来描述吗？ 提示：构建如下情境： 长方形的周长为20，设其中一边长为x，面积为y，那么y＝x(10－x)．其中，x的取值范围是x∈{x|0<x<10}，y的取值范围是{y|0<y≤25}，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10－x)．(答案不唯一，合理即可) 探究2：你还能构建其他可用解析式y＝x(10－x)描述其中变量关系的问题情境吗？ 提示：设两个实数的和为10，其中一个数为x，这两个数的积为y，则y＝x(10－x)，其中x的取值范围为R，y的取值范围是{y|y≤25}．对应关系f把任意的一个x值，对应唯一确定的数x(10－x)． 【例2】 构建一个问题情境，使得其中的变量关系可以分别用解析式y＝和y＝2来描述． 解：由y＝可得xy＝10，联想到矩形的面积公式，可构建如下的问题情境： 已知矩形的面积为10.如果矩形的