(教案)第2章 一元二次函数 方程和不等式 阶段任务性复习-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

任务一　不等式的性质 实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种．那么，对于任意两个实数a，b，它们的差a－b也只可能为正数、零和负数中的一种． 问题1　有如图所示的两种广告牌：图(1)由两个等腰直角三角形构成，图(2)是一个矩形．试用直观的方法比较这两个广告牌面积的大小，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来． 答案：图(1)的面积大，a2＋b2>ab. 问题2　 (1)如果a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？ (2)如果a>b, c<d，且c≠0，d≠0，能否判断与的大小？ 答案：(1)不能判断，例如a＝2，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，ac<bd；当a＝2，b＝1，c＝1，d＝－2时，ac>bd. (2)与(1)类似，也无法判断与的大小． 问题3　假设有一种机器可以抽取糖水中的糖，生活常识告诉我们：若把糖水中的糖抽掉m g，则糖水会变淡．于是提炼出一个不等式：若a>b>m>0，则<，你能证明这个不等式吗？ 答案：略 1．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若b>a>0，则> B．若a>b，则ac>bc C．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d D．若ac2>bc2，则a>b ACD　解析：选项A，因为b>a>0，所以ab>0.在不等式b>a两边同除以ab得>，A正确； 选项B，当c＝0时，ac＝bc，B错误； 选项C，同向不等式相加，不等号方向不变，C正确； 选项D，因为ac2>bc2，所以c2>0，两边同除以c2得，a>b，D正确． 故选ACD. 2．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　) A．ac2>bc2 B．a>b C．a＋c>b＋c D．> D　解析：若c<0，则a<b，所以，ac2<bc2，a＋c<b＋c，ABC均错； 因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>.故选D. 任务二　基本不等式 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？ 简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A＝表示物体的质量． 问题1　这样的做法合理吗？如果不合理，请你求出物体的实际质量． 答案：不合理，物体的实际质量为. 问题2　甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条线路步行到B地．甲在前一半时间的行走速度为a，后一半时间的行走速度为b；乙用速度a走完前半段路程，用速度b走完后半段路程．若a≠b，问甲、乙两人谁先到达B地？ 解析：甲先到达B地． 1．正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为(　　) A．16 B．24 C．32 D．40 C　解析：因为正实数ab满足＋＝1，所以1≥2，ab≥8，当且仅当b＝2a＝4时取等号，＋＝1化简得ab＝2a＋b，所以(a＋2)(b＋4)＝ab＋2(2a＋b)＋8＝3ab＋8≥32.故选C. 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值为________. 4　解析：因为x＋y＝4，即＋＝1，所以＋＝＝. 又因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝且x＋y＝4，即x＝1，y＝3时，等号成立，则＋的最小值为4. 3．已知x>0，则2x＋的最小值为________. 3　解析：2x＋＝2x＋1＋－1≥ 2－1＝3，当且仅当2x＋1＝2，即x＝时，等号成立． 4．设a为正数，计算下列两个数的算术平均数与几何平均数． (1)4,16；　(2)3,12； (3)1,4a2；　(4)5a,5a. 解：(1)4和16的算术平均数为＝10，几何平均数为＝8. (2)3和12的算术平均数为＝，几何平均数为＝6. (3)1和4a2的算术平均数为，几何平均数为＝2a. (4)5a与5a的算术平均数为＝5a，几何平均数为＝5a. 任务三　一元二次不等式 一元二次不等式的求解方法，如图． 问题1　请你试着画出当a<0时，ax2＋bx＋c>0的求解思路． 答案：略 问题2　形如≥0的不等式如何求解？ 答案：转化成解不等式组 问题3　若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则a，b，c应满足怎样的条件？当解集为∅时呢？ 答案：解集为R时，即a＝0，b＝0，且c>0或a>0，且Δ<0；解集为∅时，a＝0，b＝0，且c≤0或a<0，且Δ<0. 1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{－1