(教案)第2章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 学习任务目标 1．掌握一元二次不等式的解法； 2．能根据三个“二次”之间的关系解决简单问题. 一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0,0)，就有如下结果： 一元一次方程ax＋b＝0的解是x＝x0. 一元一次不等式ax＋b>0(<0)的解法： (1)当a>0时， 一元一次不等式ax＋b>0的解集是{x|x>x0}； 一元一次不等式ax＋b<0的解集是{x|x<x0}. (2)当a<0时， 一元一次不等式ax＋b>0的解集是{x|x<x0}； 一元一次不等式ax＋b<0的解集是{x|x>x0}. 知识点一　一元二次不等式、一元二次函数的零点 1．一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　　) ×　提示：当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点． (　　) ×　提示：函数y＝ax2＋bx＋c的零点是图象与x轴的交点的横坐标． (3)x2－y2>0是一元二次不等式． (　　) ×　提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式． 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R. (　　) ×　提示：若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅. (2)设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个解为x1，x2，且x1<x2，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}． (　　) ×　提示：当二次项系数a<0时，不等式ax2＋x＋c>0的解集为{x|x1<x<x2}． (3)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根． (　　) √　提示：当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根． 2．不等式6x2＋x－2≤0的解集为________. 　解析：因为方程6x2＋x－2＝0的两根为x1＝，x2＝－，所以原不等式的解集为. 简单一元二次不等式的解法 1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　) A．{x|x＜－2，或x＞－1} B．{x|－2＜x＜－1} C．{x|x＜1，或x＞2} D．{x|1＜x＜2} D　解析：原不等式即为(x－1)(x－2)＜0，所以1＜x＜2.故原不等式的解集为{x|1＜x＜2}． 2．不等式x2－2x－5>2x的解集是________. {x|x>5，或x<－1} 　解析：由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0.因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，所以x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1，或x>5}． 3．不等式－x2＋6x－10>0的解集为________. ∅　解析：原不等式可化为x2－6x＋10<0. 因为Δ＝36－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0没有实数根．所以原不等式的解集为∅. 4．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________. {a|a≤1}　解析：A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1，或x>2}，B＝{x|x<a}． 如图，若B⊆A，则a≤1. 三个“二次”之间的关系 【例1】若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集． 解：因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}， 所