(教案)第2章 2.1 等式性质与不等式性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与比较大小 学习任务目标 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系； 2．会用比较法比较两实数的大小. 在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 答案：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 知识点一　相等关系与不等关系 类似于多与少、大与小、长与短等问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. (　　) √　提示：不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2. (2)若x2＝0，则x≥0. (　　) √　提示：若x2＝0，则x＝0，所以x≥0成立． (3)若x－1≤0，则x<1. (　　) ×　提示：若x－1≤0，则x<1或者x＝1，即x≤1. 2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(C) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 知识点二　实数a，b的大小比较 (1)画数轴比较法 设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b. (2)作差比较法 如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也正确． 这个基本事实可以表示为 a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0. 知识点三　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． [微训练] 1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b C　解析：因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b. 2．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________. m≥n　解析：m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0. 用不等式(组)表示不等关系 1．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(C) A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度是4 m/s，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x(cm)应该满足的不等式为(　　) A．4×2x≥100 B．4×2x≤100 C．4×2x＞100 D．4×2x＜100 C　解析：当导火索的长度为x cm时，燃烧的时间为2x s，人跑开的距离为(4×2x)m，为了保证安全，有4×2x＞100. 3．用不等式表示下面的不等关系． (1)a与b的积是非负数； (2)m与n的和大于p； (3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间． 解：(1)ab≥0. (2)m＋n>p. (3)16≤t≤18. 比较大小 探究：对于两个实数a，b，它们的大小关系有几种？怎样判断？ 提示：对于两个实数a，b，它们的大小关系有3种，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b是零，那么a＝b. 【例1】 当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 因为x≤1，所以x－1≤0. 而3x2＋1>0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1. 【类题通法】 作差法比较大小的一般步骤 第一步，作差； 第二步，变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步，定号，即确定结果是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 第四步，得结论． 说明：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形(常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式)，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性． 1．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 A　解析：M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故选A. 2．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)． >　解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，a>b，所以(a－b)2