(教案)第1章 1.5 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习任务目标 1．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定； 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 比较下面两对命题，它们之间有什么关系？ (1)“∀x∈R，x2＋1>1”与“∃x∈R，x2＋1≤1”． (2)“∀x∈R,2x＋1是整数”与“∃x∈R,2x＋1不是整数”． 答案：略 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题p ∀x∈M，p(x) p ∃x∈M，p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微训练] 1．命题“∀x∈R，|x|＋1－x≠0”的否定为∃x∈R，|x|＋1－x＝0. 2．用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 答案：不唯一 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题p ∃x∈M，p(x) p ∀x∈M，p(x) 结论 存在量词命题的否定是全称量词命题 [微训练] 1．命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0 B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0 C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0 D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0 D　解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，可排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，可排除B. 2．命题“∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点”的否定为∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点. 全称量词命题的否定 1．命题“对于任意的x∈R，x2≥0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x2≥0　 B．存在x∈R，x2≤0 C．对任意的x∈R，x2<0　 D．存在x∈R，x2<0 D　解析：对于任意的x∈R，x2≥0的否定为存在x∈R，x2<0. 2．命题“∀x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是______________. ∃x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0　解析：已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题．先将“∀”换成“∃”，再否定结论，即命题的否定是“∃x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0”． 3．命题“∀x∈R，都有－2x＋4≤0”的否定是______________. ∃x∈R，使得－2x＋4＞0　解析：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为“∃x∈R，使得－2x＋4＞0”． 存在量词命题的否定 【例1】命题p：有些三角形是等腰三角形的否定是(　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 C　解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故p为“所有三角形不是等腰三角形”． 【例2】写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p：存在x∈R,2x＋1≥0； (2)q：存在x∈R，x2－x＋<0； (3)r：有些分数不是有理数． 解：(1)任意x∈R,2x＋1<0，为假命题． (2)任意x∈R，x2－x＋≥0. 因为x2－x＋＝2≥0，所以是真命题． (3)一切分数都是有理数，是真命题． 1．命题“∃x∈R,2x＋2≤0”的否定是(　　) A．∀x∈R,2x＋2＞0 B．∀x∈R,2x＋2≤0 C．∃x∈R,2x＋2＞0 D．∃x∈R,2x＋2≥0 A　解析：由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“∃x∈R,2x＋2≤0”的否定为“∀x∈R,2x＋2＞0”． 2．设命题p：有些三角形是直角三角形，则p为______________. 任意三角形不是直角三角形　解析：命题p是存在量词命题，p为任意三角形不是直角三角形． 全称量词命题与存在量词命题的否定的应用 【例3】若命题“∀x∈R，使得x2－2x＋m≠0”为假命题，则m的取值范围是________. {m|m≤1}　解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0为真命题，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，所以Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 【变式探究】若命题“∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是________. {m|m＞1}　解析：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1. 对于任意实数x，y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，则m的取值范围是________. {m|m<－5}　解析：y＝(x＋2)2－5. 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 全称量词命题的否定 p p 结论 全称量词命题：∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ·说明 (