(教案)第1章 1.5 1.5.1 全称量词与存在量词-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 学习任务目标 1．理解全称量词、存在量词的含义； 2．掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断. 我们有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词． 知识点一　全称量词与全称量词命题 1．定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 2．表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题． (√) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (×) 2．下列命题是全称量词命题的是(　　) A．有的三角形是等边三角形 B．所有2的倍数都是偶数 C．有一个实数，使|x|≤0 D．至少有一个x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 B　解析：因为选项A，C，D中依次存在“有的”“有一个”“至少有一个”等量词，所以它们都不是全称量词命题，而选项B中有“所有”这个量词，所以该选项正确． 知识点二　存在量词与存在量词命题 1．定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 2．表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). [微训练] 1．下列命题中，是存在量词命题的是(D) A．任何一个实数乘0都等于0 B．自然数都是正整数 C．所有的语句都是命题 D．一定存在没有最大值的二次函数 2．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是存在量词命题，用符号表示为∃x，y∈R，使得x＋y>1. 全称量词命题与存在量词命题的改写与判断 1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　) A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立 C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立 D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立 A　解析：改写成全称量词命题：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 2．用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解． 解：(1)任意一个有理数都能写成分数形式． (2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立． 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例1】判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋1>； (2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． 解：(1)真命题，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以x2＋1>恒成立． (2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意． (3)真命题，如－2，－4等既是偶数又是负数． (4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数． (5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解． 【类题通法】 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判定一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假． 试判断下面命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2＞0； (2)∀x∈N，x4≥1； (3)∃x∈Z，x3＜1； (4)∃x∈Q，x2＝3. 解：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题． (2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题． (3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (4)由于使x2＝3成立的x＝±，而它们都不是有理数．因此，不存在一个有理数的平方等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题． 全称量词命题与存在量词命题的应用 已知函数y＝－2x＋3，集合M＝{x|－1≤x≤2}． 探究1：若全称量词命题“∀x∈M，a>y”为真命题，如何确定实数a的范围？ 提示：该问题的实质是不等式恒成立问