(教案)第1章 1.4 1.4.2 充要条件-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.4.2　充要条件 学习任务目标 1．理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系； 2．初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养. 如果命题“若p，则q”是真命题，且命题“若q，则p”是假命题，那么p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． 知识点一　充要条件 1．定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，即p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2．条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 3．概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. [微训练] 1．“x＝0”是“x2＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：当x＝0时，x2＝0；当x2＝0时，x＝0.所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件． 2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 B　解析：P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0. 3．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件． 充分　解析：∠B＝∠C⇒△ABC是等腰三角形，所以“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的充分条件． 知识点二　命题的条件、结论与充分性、必要性 1．充分必要条件(充要条件)，即p⇒q，且q⇒p. 2．充分不必要条件，即p⇒q，且qp. 3．必要不充分条件，即pq，且q⇒p. 4．既不充分也不必要条件，即pq，且qp. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (√) (2)q不是p的必要条件时，pq． (√) (3)若q是p的必要条件，则当q成立时，p也成立． (×) (4)如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件． (√) 充要条件的判定 1．“a>0”是“|a|>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：因为“a>0”⇒“|a|>0”，但是“|a|>0”⇒“a>0或a<0”，所以“|a|>0”不一定推出“a>0”．故“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．故选A. 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1.所以，当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．故选B. 3．设集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”．反之，由“m∈B”可得到“m∈A”．故选B. 充要条件的证明 【例1】 设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况． 当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，且|x|＋|y|＝|y|，所以等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 当xy>0时，分两种情况，即x>0，y>0或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立．所以，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|，且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.所以|xy|＝xy.所以xy≥0. 综上，等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 1．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. m＝－2　解析：若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称． 2．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx. 当x＝0时，y＝0. 所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)． ②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)