(教案)第1章 1.4 1.4.1 充分条件与必要条件-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 学习任务目标 1．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系； 2．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. (2)命题的形式：若p，则q. 知识点　充分条件与必要条件 形如“若p，则q”的命题 命题真假 真命题 假命题 推出关系 由p可以推出q 由p推不出q 记法 p⇒q pq 读法 p推出q p推不出q 条件关系 p是q的充分条件；q是p的必要条件 p不是q的充分条件；q不是p的必要条件 [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件． (　　) ×　提示：x2＝9x＝3. (2)“x>0”是“x>1”的充分条件． (　　) ×　提示：x>0 x>1. (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) ×　提示：不唯一．如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件． 2．(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 充分条件的判断 1．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 A　解析：若四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形．故选A. 2．设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x>3 B．x<3 C．x>4 D．x<4 C　解析：因为4>3.14，所以x>4能推出x>3.14.故选C. 3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 A　解析：当a＝1时，|a|＝1成立．但当|a|＝1时，a＝±1.所以a＝1不一定成立． 所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．故选A. 必要条件的判断 【例1】 使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　) A．x<0 B．x≥0或x≤－1 C．x>0 D．x≤－1 B　解析：因为|x|＝x，所以x≥0，因此选项B是使|x|＝x成立的一个必要条件． 【例2】 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若|x|＝|y|，则x＝y； ②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； ③p：x＝1，q：x－1＝； ④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； ⑤p：0是自然数，q：0是正整数； ⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解：①若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y， 因此pq，所以q不是p的必要条件． ②直角三角形不一定是等腰三角形． 因此pq，所以q不是p的必要条件． ③当x＝1时，x－1＝＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． ④当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． ⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件． ⑥等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ (1)p：α为锐角，q：α＝45°； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点． 解：(1)若α为锐角，α不一定等于45°，因此p不是q的充分条件．反之，若α＝45°，则α为锐角，因此p是q的必要条件． (2)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3.因此，p不是q的充分条件． 由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件． (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点．因此，p是q的充分条件． 反之，若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0.因此，p不是q的必要条件． 充分条件、必要条件的应用 探究1：记集合A＝{x|P(x)}，B＝{x|Q(x)}．若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 提示：若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件． 探究2：若A⊇B，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 提示：若A⊇B，则“x∈A”是“x∈B”的必要条件