微练68 不等式的证明-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练课件PPT（老高考）

高考复习顶层设计（大一轮） 核心微练 数学文科 1 2 微练(六十八)　不等式的证明 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 3 基础过关 素养升级 4 基础过关 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 5 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 6 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 7 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 8 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 9 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 10 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 11 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 12 素养升级 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 13 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 14 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 15 1.已知函数f(x)=|x|+|x-3|。 (1)求不等式f(x)-5≥x的解集; (2)设m,n∈{y|y=f(x)},证明:2(m+n)<mn+4。 解　(1)由题意知f(x)=|x|+|x-3|=所以f(x)-5≥x等价于或或解得x≤-或x≥8。所以不等式的解集为∪。 (2)证明:由(1)易知f(x)≥3,所以m≥3,n≥3。因为2(m+n)-(mn+4)=2m-mn+2n-4=(m-2)(2-n),且m≥3,n≥3,所以m-2>0,2-n<0,即(m-2)(2-n)<0,所以2(m+n)<mn+4。 2.已知a>0,b>0,a2+b2=2。证明: (1)(a+b)(a3+b3)≥4; (2)a2b+b2a≤2。 证明　(1)因为a>0,b>0,a2+b2=2, 所以(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+ba3+b4≥a4+2+b4=a4+2a2b2+b4= (a2+b2)2=4, 当且仅当a=b=1时取等号。 (2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab>0(当且仅当a=b=1时取等号),所以0<ab≤1　①。 因为(a+b)2≤2(a2+b2)=4(当且仅当a=b=1时取等号),且a>0,b>0,所以a+b≤2　②。 当a>0,b>0,①×②可得a2b+b2a≤2。 3.(2023·四川简阳模拟)已知a,b,c为正实数,且abc=1。 (1)求证:a2+b2+c2≥++; (2)若a=b+c,求a的最小值。 解　(1)证明:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 因为abc=1,所以ab+bc+ca==++,所以a2+b2+c2≥++。 (2)因为a,b,c为正实数,所以b+c≥2,当且仅当b=c时“=”成立,又a=b+c,=bc,所以a≥,解得a≥=,所以a的最小值为。 4.已知a,b,c为正数,且a+b+c=2,求证: (1)ab+bc+ac≤; (2)··≥8。 证明　(1)将a+b+c=2两边平方得a2+b2+c2+2ab+2cb+2ac=4, 因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac, 所以三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 则4=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac,所以ab+bc+ac≤, 当且仅当a=b=c=时等号成立。 (2)=,=,=, 则····=8,即··≥8, 当且仅当a=b=c=时等号成立。 5.设函数f(x)=3|x+1|+|2x-1|的最小值为m。 (1)求m的值; (2)若a,b∈(0,+∞),证明:·+1+≥m2。 解　(1)当x<-1时,f(x)=-3x-3-2x+1=-5x-2>3;当-1≤x≤时, f(x)=3x+3-2x+1=x+4∈;当x>时,f(x)=3x+3+2x-1=5x+2>。 综上,当x=-1时,f(x)min=3,所以m=3。 (2)证明:由(1)知,即证+1+≥9。 因为a,b∈(0,+∞),所以+1+≥3,+1+≥3。 所以+1++1+≥3·3=9。当且仅当即a=b=1时,等号成立。 6.(2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明: (1)a+b+2c≤3; (2)若b=2c,则+≥3。 证明　(1)证法一(平方转化基本不等式证明):因为a2+b2+4c2=3, 所以(a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2(ab+2bc+2ac)≤3+(a2+b2)+[b2+(2c)2]+[a2+(2c)2], 当且仅当a=b=2c=1时取等号,所以(a+b+2c)2≤3+2[a2+b2+(2c)2]=9。又a,