微练18 导数与函数的零点-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练课件PPT（老高考）

高考复习顶层设计（大一轮） 核心微练 数学文科 1 2 微练(十八)　导数与函数的零点 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 3 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 4 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 5 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 6 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 7 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 8 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 9 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 10 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 11 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 12 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 13 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 14 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 15 1.已知函数f(x)=(x-a2)ex+1。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在零点,求a的取值范围。 解　(1)f'(x)=(x-a2+1)ex,由f'(x)=0,得x=a2-1,当x<a2-1时,f'(x)<0,当x>a2-1时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,a2-1)上单调递减,在(a2-1,+∞)上单调递增。 (2)由(1)知f(x)在x=a2-1处取得极小值,也是最小值,则f(x)min=f(a2-1)=1-,因为f(x)存在零点,且f(a2)=1>0,所以f(x)min=1-≤0,即≥1=e0,故a2-1≥0,解得a≤-1或a≥1,所以a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)。 2.(2023·西安八校一联)已知函数f(x)=ln x·ln(2x)。 (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设h(x)=f(x)-1,求证:h(x)在[1,+∞)上有唯一零点。 解　(1)由f(x)=ln x·ln(2x)(x>0),可得f'(x)=+,则f'(1)=ln 2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ln 2·(x-1)。 (2)证明:由h(x)=f(x)-1=ln x·ln(2x)-1,可得h'(x)==(x>0),当x∈（0,）时,h'(x)<0,当x∈,+∞时,h'(x)>0,则h(x)在(0,)上单调递减,在,+∞上单调递增,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增。又因为h(1)=-1<0,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以h(x)在[1,+∞)上有唯一零点。 3.已知函数f(x)=aex--b(其中a>0,e是自然对数的底数)。 (1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y+1=0,求a,b的值; (2)若b=1,函数f(x)恰好有两个零点,求实数a的取值范围。 解　(1)f'(x)=aex-,由题意可知解得 (2)当b=1时,令f(x)=aex--1=0,得a=+1,令g(x)=+1,因为函数f(x)恰好有两个零点,所以g(x)的图象和直线y=a恰好有两个交点。g'(x)=。 令h(x)=1-2x-ex,则h'(x)=-2-ex<0,所以h(x)在(-∞,+∞)上单调递减。 又h(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h(x)>0,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增; 当x∈(0,+∞)时,h(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减。 所以g(x)的最大值为g(0)=1。当x∈(-∞,0]时,g(x)∈(-∞,1];当x∈(0,+∞)时,g(x)∈(0,1)。 当a∈(0,1)时,g(x)=+1的图象和直线y=a恰好有两个交点,故a的取值范围是(0,1)。 4.已知函数f(x)=x-aex,a∈R。 (1)当a=时,证明:f(x)+ln x-x+1≤0在(0,+∞)上恒成立; (2)讨论函数f(x)的零点个数。 解　(1)证明:当a=时,f(x)=x-ex-1,则f'(x)=1-ex-1。由f'(x)>0得x<1,此时f(x)单调递增,由f'(x)<0得x>1,此时f(x)单调递减。 所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)=x-ex-1≤0　①,变形得x≤ex-1,当x>0时,对x≤ex-1两边同时取自然对数,得ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号。所以ln x-x+1≤0　②。 ①+②,得f(x)+ln x-x+1≤0。所以当a=时,f(x)+ln x-x+1≤0在(0,+∞)上恒成立。 (2)f(x)=0等价于x-aex=0,即=a。设h