微练17 导数与不等式恒成立-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练课件PPT（老高考）

高考复习顶层设计（大一轮） 核心微练 数学文科 1 2 微练(十七)　导数与不等式恒成立 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 3 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 4 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 5 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 6 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 7 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 8 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 9 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 10 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 11 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 12 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 13 高考复习顶层设计 数学(文) 微在字里 赢在行间 第页 14 1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=x(mex-1)。 (1)当m=1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程; (2)当x>0时,f(x)≥x2-2x,求实数m的取值范围。 解　(1)当m=1时,f(x)=x(ex-1),则f(1)=e-1,由f'(x)=ex-1+xex,可得f'(1)=2e-1。所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(2e-1)(x-1),即(2e-1)x-y-e=0。 (2)由x(mex-1)≥x2-2x及x>0,得m≥。令g(x)=(x>0),则g'(x)=,当x∈(0,2)时,g'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以2是g(x)的极大值点,也是g(x)的最大值点,即g(x)max=g(2)=,所以m≥。故m的取值范围为。 2.已知函数f(x)=xln x-ax+2(a为实数)。 (1)若a=2,求f(x)在[1,e2]上的最值; (2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围。 解　(1)若a=2,则f(x)=xln x-2x+2(x>0),f'(x)=ln x-1。 由f'(x)<0得0<x<e,由f'(x)>0得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,故f(x)在[1,e)上单调递减,在(e,e2]上单调递增。 又f(e)=eln e-2e+2=2-e,f(1)=0-2×1+2=0,f(e2)=e2ln e2-2e2+2=2, 所以函数f(x)在[1,e2]上的最小值为2-e,最大值为2。 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)≥0恒成立,得ln x+≥a恒成立。 令g(x)=ln x+,则g'(x)==,当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0。 所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 则g(x)min=g(2)=1+ln 2,所以a≤1+ln 2,故a的取值范围为(-∞,1+ln 2]。 3.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2aln x(a>0)。 (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+b,求a+2b的值; (2)设函数g(x)=-(a+2)x,若至少存在一个x0∈[e,4],使f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围。 解　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+2)+, 所以f(1)=-(a+2)=2+b,f'(1)=1-(a+2)+2a=2,解得a=3,b=-,所以a+2b=-10。 (2)因为至少存在一个x0∈[e,4],使f(x0)>g(x0)成立, 所以f(x)-g(x)=x2+2aln x>0在[e,4]上有解。 当x∈[e,4]时,ln x>1,所以2a>-在[e,4]上有解。 令h(x)=-(x∈[e,4]),则2a>h(x)min,h'(x)=-=-<0, 所以h(x)在[e,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=-=-=-,所以2a>-,即a>-。 4.设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(a∈R)。 (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)≥1恒成立,求a的取值范围。 解　(1)f'(x)=2x-(a+2)+=(x>0),又f'(3)=4-=0,所以a=6,经检验符合条件,所以f'(x)=,令f'(x)>0,有0<x<1或x>3;令f'(x)<0,有1<x<3,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),(3,+∞),单调递减区间是(1,3)。 (2)由题意f(x)≥1恒成立⇔f(x)min≥1。当