微练46 空间点、直线、平面之间的位置关系-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(四十六)　空间点、直线、平面之间的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面。其中正确的序号是 (B) A.① B.①④ C.②③ D.③④ 解析　显然命题①正确。由于三棱柱的三条平行棱不共面,②错。命题③中,两个平面重合或相交,③错。三条直线两两相交,可确定1个或3个平面,则命题④正确。 2.若l1,l2为异面直线,直线l3与l2平行,则l1与l3的位置关系是 (D) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 3.下列各图是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是 (D) 解析　在A中,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S四点共面。在B中,P,Q,R,S四点共面,证明如下:如图所示,取BC中点N,可证PS,NR交于直线B1C1上一点E,所以P,N,R,S四点共面,设为α。可证PS∥QN,所以P,Q,N,S四点共面,设为β。因为α,β都经过P,N,S三点,所以α与β重合,所以P,Q,R,S四点共面。在C中,易证PQ∥SR,所以P,Q,R,S四点共面。在D中,因为QR⊂平面ABC,PS∩平面ABC=P且P∉QR,所以直线PS与QR为异面直线。所以P,Q,R,S四点不共面。 4.如图所示,ABCD⁃A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是 (A) A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 解析　连接A1C1,AC(图略),则A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上。所以A,M,O三点共线。 5.如图,在正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1中,棱AA1,BB1的夹角为,AB=2,则棱AA1,CC1的夹角为 (D) A. B. C. D. 解析　将正四棱台补成正四棱锥S⁃ABCD,依题意,可得△SAB是边长为2的正三角形,所以正四棱锥S⁃ABCD的侧棱SC=2,连接AC,在△SAC中,SA=SC=2,AC=2,所以∠ASC=,即棱AA1,CC1的夹角为。故选D。 6.(2023·河南省适应性测试)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4,D为弧AB的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为 (B) A. B. C. D. 解析　取AB的中点O,连接OD,OE,因为E是BC的中点,所以OE∥AC,所以∠OED即异面直线AC,DE所成的角,连接AD,BD,因为△ABC是圆锥的轴截面,所以平面ABC⊥平面ABD,又D是弧AB的中点,所以OD⊥AB,又平面ABC∩平面ABD=AB,OD⊂平面ABD,所以OD⊥平面ABC,所以OD⊥OE。由△ABC为正三角形,且面积为4,得△ABC的边长为4,易知OD=AB=2,OE=AC=2,所以在Rt△ODE中,cos∠OED=,故选B。 7.将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是 (C) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 解析　在题图①中,AD⊥BC,故在题图②中,AD⊥BD,AD⊥DC,又因为BD∩DC=D,所以AD⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,D不在BC上,所以AD⊥BC,且AD与BC异面,故选C。 8.一正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,有下列四个结论,其中正确的是 (A) A.AF⊥GC B.BD与GC为异面直线且垂直 C.BD∥MN D.BG与平面ABCD所成的角为45° 解析　将平面展开图还原成正方体,如图所示。对于A,由图形知AF与GC异面垂直,故A正确;对于B,BD与GC显然成异面直线。如图,连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)。在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故B错误;对于C,BD与MN为异面垂直,故C错误;对于D,由题意得,GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角。但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故D错误。故选A。 二、填空题 9.圆心和圆上任意两点可确定的平面有 1个或无数个 。  解析　若圆心和圆上的两点共线,则可确定无数个平面;若圆心和圆上的两点不共线,则可确定1个平面。