微练45 空间几何体的表面积与体积-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(四十五)　空间几何体的表面积与体积 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积的比是 (D) A.6∶5 B.5∶4 C.4∶3 D.3∶2 解析　设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1,S2,则S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,S2=4πR2,所以=。故选D。 2.过半径为2的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比值为 (A) A. B. C. D. 解析　由题意知所得截面为圆,设该圆的半径为r,则22=12+r2,所以r2=3,所以所得截面的面积与球的体积的比值为=。故选A。 3.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (C) A.12π B.24π C.36π D.144π 解析　设外接球的半径为R,易知2R=×2=6,所以R=3,于是该球的表面积S=4πR2=36π。故选C。 4.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为 (C) A.81π B.100π C.168π D.169π 解析　圆台的轴截面如图,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,母线长为l,则它的母线长为l===5r=10,所以r=2,R=8。故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π。 5.(2021·新高考全国Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为 (C) A.20+12 B.28 C. D. 解析　如图,分别取上、下底面的中心O1,O,过B1作B1M⊥OB于点M,则OB=2,O1B1=,BM=,B1M==,故四棱台的体积为V=(S上+S下+)h=×(4+16+8)×=。故选C。 6.如图所示,已知三棱柱ABC⁃A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1⁃ABC1的体积为 (A) A. B. C. D. 解析　易知三棱锥B1⁃ABC1的体积等于三棱锥A⁃B1BC1的体积,又三棱锥A⁃B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=。 7.(2023·辽宁一模)已知三棱锥的三条侧棱长均为2,侧面有两个是等腰直角三角形,底面等腰三角形底上的高为,则这个三棱锥的表面积为 (C) A.4+3+ B.4++2 C.4++ D.4+2+ 解析　由题目边长关系知,三棱锥如图所示,AB=AC=AD=2,CE=,由题意知△ABC,△ACD是等腰直角三角形,则BC=CD=2,所以BE==,所以BD=2。连接AE,因为AB=AD,E为BD中点,所以AE⊥BD,则AE==1。所以三棱锥的表面积为S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD=×2×2+×2×2+×2×1+×2×=4++。故选C。 8.已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上。若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为 (C) A. B. C.1 D. 解析　如图所示,过球心O作OO1⊥平面ABC,则O1为等边△ABC的中心。设△ABC的边长为a,则a2=,解得a=3(负值舍去),所以O1A=××3=。设球O的半径为r,则由4πr2=16π,得r=2,即OA=2。在Rt△OO1A中,OO1==1,即O到平面ABC的距离为1。 9.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙。若=2,则= (C) A. B.2 C. D. 解析　设甲、乙两个圆锥的母线长都为l,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2。因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π,所以+=2π,则r1+r2=l。又=2,所以πr1l=2πr2l,所以r1=2r2,所以r1=l,r2=l,所以h1==l,h2==l,所以===。故选C。 10.(2022·甘肃二模)已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上,CD⊥平面ABC,AC=2,△ABC是正三角形,△ACD是等腰三角形,则球O的体积为 (C) A.π B.8π C.π D.36π 解析　如图,因为CD⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以CD⊥AC。又△ACD是等腰三角形,所以CD=AC。因为△ABC是正三角形,所以AB=BC=AC=CD=2。设E为△ABC外接圆的圆心,则CE=2××=2,OE=CD=,所以OC==,所以球O的体积V=π×()3=π。故选C。 二、填空题 11.如图,一个正六棱柱的茶叶盒,底面边长为10 cm,高为20 cm,则这个茶叶盒的表面积约为 1 719.6 cm2。(精确到0.1,