微练43 直接证明与间接证明、数学归纳法-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(四十三)　直接证明与间接证明、数学归纳法 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是 (C) A.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1 解析　因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立。故选C。 2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,下列假设正确的是 (B) A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析　注意到“至多有一个”的否定应为“至少有两个”,故选B。 3.下列不等式不成立的是 (B) A.<ln 2 B.+1>2 C.233<322 D.sin 1>cos 1 4.若a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式不成立的是 (D) A.a2+b2≥ B.ab≤ C.+≥4 D.+≤1 解析　a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2=,故A成立;ab≤=,故B成立;+==≥=4,故C成立;(+)2=a+b+2=1+2>1,所以+>1,故D不成立。 5.设x,y,z>0,则三个数+,+,+ (C) A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 解析　因为+++++=++≥2+2+2=6,所以+,+,+中至少有一个不小于2。故选C。 6.在△ABC中,sin Asin C<cos Acos C,则△ABC一定是 (C) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析　由sin Asin C<cos Acos C得cos Acos C-sin Asin C>0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形。故选C。 7.用数学归纳法证明“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为 (B) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 解析　依题意当n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1),从“k到k+1”左端需增乘的代数式为=2(2k+1)。故选B。 8.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为 (C) A.n+1 B.2n C. D.n2+n+1 解析　1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域。 二、填空题 9.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设 x≠-1且x≠1 。  解析　“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”。 10.用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,第一步应验证的不等式是 1++<2 。  解析　由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2。 11.设a,b是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1。 其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件序号是 ③ 。  解析　若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1。 三、解答题 12.设a>0,b>0,求证:lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]。 证明　要证lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)],只需证1+≤,即证(1+)2≤(1+a)(1+b),即证2≤a+b,因为a>0,b>0,所以2≤a+b成立,所以lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]。 13.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an=+(n∈N*且n≥2)。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:当n≥2时,+++…+<。 解　(1)由an=+(n≥2),得Sn-Sn-1=+(n≥2),即-=1(n≥2),所以数列{}是以==1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,即Sn=n2。当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;当n=1时,a1=S1=1