微练41 基本不等式及其应用-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(四十一)　基本不等式及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.“a>b>0”是“ab<”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a>b>0,可知a2+b2>2ab,充分性成立,由ab<,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立。 2.已知x≥1,则当x+取得最小值时,x的值为 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为x≥1,所以x+≥4,当且仅当x=,即x=2时取等号。故选B。 3.已知正实数x,y满足x+y=2,则+的最小值是 (A) A.+ B.2 C.3 D.4 解析　因为正实数x,y满足x+y=2,所以+=·+(x+y)=3++≥+×2=+,当且仅当y2=2x2,即x=2-2,y=4-2时等号成立,所以+的最小值是+。故选A。 4.函数f(x)=x+(x>-2)的最小值是 (D) A.2 B.2 C.2+2 D.2-2 解析　依题意知f(x)=x+=x+2+-2,因为x+2>0,所以x+2+≥2=2,当且仅当x+2=,即x=-2时等号成立,所以f(x)的最小值为2-2,故选D。 5.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy (C) A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为 解析　因为x>0,y>0,x+2y=2,所以x+2y≥2,即2≥2,xy≤(当且仅当x=2y,即x=1,y=时,等号成立)。所以xy有最大值,且最大值为。 6.已知f(x)=(x>0),则f(x)的最小值是 (D) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　f(x)===x+1++1,因为x>0,所以x+1>0,则x+1++1≥2+1=5当且仅当x+1=,即x=1时取“=”,故f(x)的最小值是5。故选D。 7.(2023·宁夏银川模拟)设a=log23,b=log2,则,ab,的大小关系为 (C) A.ab>> B.>>ab C.>ab> D.ab>> 解析　易知=1,ab<=1,又因为a=log23>1,0<b=log2<1,所以ab>,故选C。 8.已知三角形的三边长分别为a,b,c,则三角形的面积S=,其中p=,这个公式被称为海伦公式。在△ABC中,BC=4,AB+AC=8,则△ABC面积的最大值为 (C) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由题意可知a=4,b+c=8,p==6,故△ABC的面积S==≤=4,当且仅当6-b=6-c,即b=c=4时取等号。 二、填空题 9.(2023·兰州诊断)设a,b,c均为正实数,若a+b+c=1,则++≥ 9 。  解析　因为a,b,c均为正数,a+b+c=1,所以++=(a+b+c)++=3++++++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,取等号。 10.实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则ab的最小值为 8 。  解析　由题意,知a>0,b>0。因为lg a+lg b=lg(ab),所以lg(ab)=lg(a+2b),所以ab=a+2b,等号两边同时除以ab可得,+=1,所以ab=a+2b=(a+2b)+=++4≥8,当且仅当b=2,a=4时等号成立,则ab的最小值为8。 11.当3<x<12时,函数y=的最大值为 3 。  解析　y===-x++15≤-2+15=3(当且仅当x=,即x=6时取等号),所以ymax=3。 三、解答题 12.(1)已知0<x<,求y=x(1-3x)的最大值。 (2)已知f(x)=(x>-1),求f(x)的最小值。 解　(1)y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立。 (2)f(x)===x+1++2≥2+2,当且仅当x+1=,即x=-1时等号成立。 13.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值; (2)x+y的最小值。 解　(1)由2x+8y-xy=0,得+=1。又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当=,即x=16且y=4时,等号成立。所以xy的最小值为64。 (2)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则x+y=+(x+y)=10++≥10+2=18。当且仅当=,即x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18。 素养升级 14.(2023·重庆质量调研)已知f(x)=2x+2-x,若f(2x)≥mf(x)-6对任意x∈R恒成立,则实数m的最大值为 (B) A.2 B.4 C.2 D.4 解析　由已知,得f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=[f(x)]2-2,f(x)=2x+2-x≥2,当且仅当2x=2-x,即x=0时