微练14 导数与函数的单调性-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(十四)　导数与函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.如图为函数f(x)的导函数f'(x)的图象,则函数f(x)的单调递减区间是 (C) A.(-∞,-1) B.(-2,0) C.(-2,0),(2,+∞) D.(-∞,-1),(1,+∞) 解析　由题图可知,当-2<x<0或x>2时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间是(-2,0),(2,+∞)。故选C。 2.函数f(x)=3+xln x的单调递减区间是 (B) A. B. C. D. 解析　因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+x·=ln x+1,令f'(x)<0,解得0<x<,故f(x)的单调递减区间是。 3.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (A) A. B. C. D.(-∞,a) 解析　由f'(x)=-a>0,得0<x<。所以f(x)的单调递增区间为。 4.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0 ”是“f(x)在R上单调递增”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　f'(x)=x2+a,当a≥0时,f'(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件。故选A。 5.函数f(x)=ln(x+1)+e-x的单调递增区间为 (A) A.(-1,+∞) B.(0,+∞) C.(e,+∞) D.,+∞ 解析　由题意,函数f(x)=ln(x+1)+e-x的定义域为(-1,+∞),且f'(x)=。令m(x)=ex-(x+1)(x>-1),则m'(x)=ex-1,由m'(x)=0,得x=0。当x∈(-1,0)时,m'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,m'(x)>0。所以m(x)在(-1,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,所以m(x)≥m(0)=e0-1=0,即f'(x)≥0,所以f(x)在(-1,+∞)上是增函数,即f(x)的单调递增区间为(-1,+∞)。故选A。 6.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,且函数y=f'(x)在区间D上也是增函数(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),那么称函数y=f(x)是区间D上的“快增函数”,区间D叫做“快增区间”。则函数f(x)=sin2x+2sin x在区间[0,π]上的“快增区间”为 (A) A.0, B.0, C., D., 解析　f(x)=sin2x+2sin x,x∈[0,π],所以f'(x)=2sin xcos x+2cos x=2cos x(sin x+1),因为sin x+1≥0恒成立,当x∈0,时cos x≥0,所以f'(x)≥0,所以f(x)为增函数,当x∈,π时cos x<0,所以f'(x)<0,所以f(x)为减函数,令g(x)=f'(x)=2sin xcos x+2cos x,x∈0,,则g'(x)=2cos2x-2sin2x-2sin x=2-4sin2x-2sin x,令t=sin x,则t∈[0,1],g'(t)=-4t2-2t+2=-2(2t-1)(t+1),所以t∈0,时g'(t)≥0,即x∈0,时g'(x)≥0,且g(x)单调递增,所以函数f(x)=sin2x+2sin x在区间[0,π]上的“快增区间”为0,。故选A。 7.(2023·东北三校联考)已知实数a,b,c满足a<2,aln a-2ln 2=a-2,b<,bln b-ln=b-,c>,cln c-ln=c-,则 (D) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 解析　令f(x)=xln x-x(x>0),则f'(x)=ln x,令f'(x)=0,则x=1,当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0。所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。aln a-2ln 2=a-2,即aln a-a=2ln 2-2,即f(a)=f(2),又a<2,所以0<a<1。bln b-ln=b-,即bln b-b=ln-,即f(b)=f(),又b<,所以0<b<1。因为f(2)>f(),即f(a)>f(b),且0<a<1,0<b<1,f(x)在(0,1)上单调递减,所以0<a<b<1。cln c-ln=c-,即cln c-c=ln-,即f(c)=f,又c>,所以c>1。综上,a<b<c。故选D。 8.(2023·佛山市质量检测)设函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)·f'(x)>x恒成立,则 (D) A.f(1)<f(-1) B.f(1)>f(-1) C.|f(1)|<|f(-1)| D.|f(1)|>|f(-1)| 解析　设g(x)=[f2(x)-x2],则g'(x)=[2f(x)f'(x)-