微练8 指数与指数函数-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(八)　指数与指数函数 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.化简·的结果为 (A) A.- B.- C. D. 解析　由题意可知a≥0,所以·=(-a·=-·=-=-=-。故选A。 2.下列函数中值域为正实数集的是 (B) A.y=-5x B.y= C.y= D.y=3|x| 解析　A项中y<0,C项中y≥0,D项中y≥1,只有B项正确。故选B。 3.函数y=2|x|-1的图象大致为 (C) 解析　由题知函数的定义域为R,排除A,D;当x∈(0,+∞)时,y=2x-1为增函数,排除B。故选C。 4.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象恒过点(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过 (C) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为f(x)=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象恒过点(2,2),所以m=n=2,所以g(x)=2-2x,所以g(x)为减函数,且其图象过点(0,1),所以g(x)的图象不经过第三象限。故选C。 5.(2023·四川成都月考)已知α=2ln 3,β=,γ=ln,则α,β,γ的大小关系是 (C) A.α<β<γ B.β<α<γ C.γ<β<α D.β<γ<α 解析　因为ln 3>ln e=1,所以α>2,因为0<<e0=1,所以0<β<1,因为ln<ln 1=0,所以γ<0,所以γ<β<α。故选C。 6.(2023·沈阳市联考)网络上盛极一时的数学式子“1.0130≈1.4,1.01365≈37.8,1.01730≈1 427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%,就会在一个月、一年以及两年后产生巨大的差异。虽然这是一种理想化的算法,但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间积累的力量”。小强同学是一位极其努力的同学,假设他每天进步2.01%,那么30天后小强的学习成果约为原来的 (B) A.1.69倍 B.1.96倍 C.1.78倍 D.2.8倍 解析　小强同学每天进步2.01%,即0.020 1。因为(1+0.020 1)30=[(1.01)2]30=[(1.01)30]2≈1.42=1.96,所以30天后小强的学习成果约为原来的1.96倍。故选B。 7.若2 020a=2 021b>1,则 (A) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 解析　在同一坐标系内作出y=2 020x以及y=2 021x的大致图象如图,因为2 020a=2 021b>1,所以0<b<a。故选A。 8.已知0<a<b<1,则 (D) A.(1-a>(1-a)b B.(1-a)b>(1-a C.(1+a)a>(1+b)b D.(1-a)a>(1-b)b 解析　因为0<a<1,所以0<1-a<1,所以y=(1-a)x是减函数,又0<b<1,所以>b,b>,所以(1-a<(1-a)b,(1-a)b<(1-a,所以A,B均错误;又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C错误;因为0<1-b<1-a<1,所以(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以D正确。故选D。 二、填空题 9.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为 27 。  解析　因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3①。因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y②。由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27。 10.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数 f(x)=2|x|(答案不唯一) 。  ①当x1x2≥0时,f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f(x)为偶函数。 解析　若满足①对任意的x1x2≥0有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)成立,则对应的函数为指数函数y=ax的形式;若满足②f(x)为偶函数,只需要将x加绝对值即可,所以满足①②两个条件的函数满足f(x)=a|x|(a>0,a≠1)即可。 11.已知函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则a的取值范围为 (1,+∞) ,f(-4)与f(1)的大小关系是 f(-4)>f(1) 。  解析　因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1。由于函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,则函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数,故f(1)=f(-3),f(-4)>f(1)。 三、解答题 12.已知函数f(x)=。 (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值。 解　(1)令t=|x|-a,则f(t)=,不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,又f