微练6 函数的奇偶性与周期性-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(六)　函数的奇偶性与周期性 　　　　　　　　　　　　　　　　基础过关 一、选择题 1.下列函数是奇函数的是 (D) A.y=cos x B.y=x2 C.y=ln|x| D.y=ex-e-x 解析　对于A,y=cos x是余弦函数,是偶函数,不符合题意;对于B,y=x2是二次函数,是偶函数,不符合题意;对于C,y=ln|x|的定义域为{x|x≠0},且ln|-x|=ln|x|,该函数是偶函数,不符合题意;对于D,y=ex-e-x的定义域为R,且e-x-ex=-(ex-e-x),该函数是奇函数,符合题意。故选D。 2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则f(2)= (A) A.-6 B.6 C.-2 D.2 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[-2×(-2-1)]=-6。故选A。 3.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)= (D) A.ex-e-x B.(ex+e-x) C.(e-x-ex) D.(ex-e-x) 解析　因为f(x)+g(x)=ex,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x,所以g(x)=(ex-e-x)。故选D。 4.(2022·陕西部分重点高中联考)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则 (C) A.y=f(x+1)是偶函数 B.y=f(x-1)是偶函数 C.y=f(x+1)是奇函数 D.y=f(x-1)是奇函数 解析　因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即y=f(x+1)是奇函数。故选C。 5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有 (C) A.f<f<f B.f<f<f C.f<f<f D.f<f<f 解析　因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数的周期为4,作出f(x)的草图,如图,由图可知f<f<f-。故选C。 6.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且f(x)为偶函数。若f(-2)=1,则满足f(2x)≥1的x的取值范围是 (A) A.[-1,1] B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析　因为定义在R上的函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减。又因为f(-2)=1,所以f(2x)≥1等价于f(|2x|)≥f(2),所以|2x|≤2,解得-1≤x≤1。故选A。 7.已知函数f(x)为R上的奇函数,且f(-x)=f(4-x),当x∈(0,2)时,f(x)=x-1,则函数f(x)在区间[2 022,2 025]上 (B) A.最小值是- B.最小值是- C.最大值是 D.最大值是 解析　由题可知,当x∈(0,2)时,f(x)=x-1<0,且f(x)是减函数,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-2,0)上是减函数且f(x)>0,又f(0)=0,所以f(x)在(-2,2)上是减函数。由f(-x)=f(4-x),可得f(x)=f(4+x),所以f(x)是周期函数,且周期为4,所以f(-2)=f(2)且f(-2)=-f(2),所以f(2)=f(-2)=0,所以f(2k)=0,k∈Z。f(x)在(-2,2)上单调递减,则f(x)在(2 022,2 026)上单调递减,f(2 025)=f(1)=-,而f(2 022)=f(-2)=0,所以f(x)在[2 022,2 025]上的最小值是f(2 025)=-。故选B。 8.已知实数a,b满足5(a-3)5+ea-3=e3-a+3,5b5+eb=e-b-3,则a+b= (D) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　构造函数f(x)=5x5+ex-e-x,则f(x)为奇函数,且在R上单调递增。由5(a-3)5+ea-3=e3-a+3,5b5+eb=e-b-3,得f(a-3)=3,f(b)=-3,f(a-3)=-f(b),所以a-3+b=0。所以a+b=3。故选D。 二、填空题 9.若f(x)=(x+3)5+(x+m)5是奇函数,则m= -3 。  解析　因为f(x)是奇函数,x∈R,所以f(0)=0,即35+m5=0,解得m=-3。 10.(2023·重庆质量调研)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)且f(x)=f(2+x),则函数f(x)的解析式可以是 f(x)=sin πx(答案不唯一) 。  解析　由x∈R,f(-x)=-f(x)知,函数f(x)为R上的奇函数。由f(x)=f(2+x)知,函数f(