概率与统计 解答题专练-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

概率与统计　解答题专练 1.(2023·陕西汉中模拟)为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情,某校举办了“我爱古诗词”对抗赛,在每轮对抗赛中,高二年级胜高三年级的概率为,高一年级胜高三年级的概率为,且每轮对抗赛的结果互不影响。 (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛,求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率; (2)若高一年级与高三年级进行对抗赛,高一年级胜2轮就停止对抗赛,否则开始新一轮对抗赛,但对抗赛不超过5轮,求对抗赛轮数X的分布列与数学期望。 解　(1)由题意知,高三年级胜高二年级的概率为。设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出,“至少有3轮胜出”的概率为P,则P=P(x=3)+P(x=4)=3×+4=。 (2)由题意知,对抗赛轮数X的所有可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=2=,P(X=3)=××1-×=,P(X=4)=××1-2×=,P(X=5)=××1-3+1-4=,所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P E(X)=2×+3×+4×+5×=。 2.为了鼓励学生参加体育锻炼,某学校拟举办一场运动会,学校随机抽选了100名男生和100名女生,调查他们是否选报运动项目,结果如下: 选报运动项目 不选报运动项目 男生 80 20 女生 60 40 (1)能否有99.9%的把握认为选报运动项目与性别有关? (2)若用频率估计概率,从该校所有女生中随机抽取3人进行深入调查,X表示抽取的不选报运动项目的人数,求X的分布列与数学期望。 附:K2=,其中n=a+b+c+d。 P(K2≥k) 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 解　(1)由题意得,K2=≈9.524<10.828,故没有99.9%的把握认为选报运动项目与性别有关。 (2)由题意可知,X~B,X的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×=。 3.(2023·重庆质量调研)某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率,对该项产品进行了科技创新和市场开发,经过一段时间的运营后,统计得到关于x,y的五组数据,如下表: x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中,x(单位:百万元)是科技创新和市场开发的总投入,y(单位:百万元)是科技创新和市场开发后的收益。 (1)求相关系数r的大小(精确到0.01),并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度; (2)该公司针对消费者对该产品的满意程度进行了调研,在调研的100名男女消费者中,得到的数据如下表: 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关? 参考公式:r=, 参考数据:≈22。 P(K2≥k) 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 解　(1)由题意可得==3,==16,所以(xi-)(yi-)=(-2)×(-7)+(-1)×(-5)+0×(-2)+1×10+2×4=37, (xi-)2(yi-)2=[(-2)2+(-1)2+0+1+22]×[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42]=1 940。所以r==≈0.84。所以科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的线性相关关系。 (2)由题意,得K2=≈8.129>6.635,所以有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关。 4.某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕,天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立,无雨的概率都为0.8。现有两种方案可以选择, 方案一:基地人员自己采摘,不额外聘请工人,需要两天完成,两天都无雨收益为2万元,只有一天有雨收益为1万元,两天都有雨收益为0.75万元; 方案二:基地额外聘请工人,只要一天就可以完成采摘,当天无雨收益为2万元,有雨收益为1万元,额外聘请工人的成本为a万元。 (1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工人?请说明理由。 解　(1)基地收益X的可能取值为2,1,0.75,则P(X=2)=0.64,P(X=1)=0.32,P(X=0.75)=0.04,故X的分布列为 X 2 1 0.75 P 0.64 0.32 0.04 则基地的预期收益E(X)=2×0.64+1×0.32+0.75×0.04=1.63(万元)。 (