第6讲 函数的概念及其表示-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第6讲　函数的概念及其表示 1、 基础知识 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地,给定两个　　　　　　　A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的　　　　　　,在集合B中都有　　　　的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作　　　　,x∈A.  (2)函数的三要素 函数由　　　　、　　　　和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,　　　　　　　范围(即数集A)称为这个函数的　　　　,　　　　　　组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.  2.函数的表示法 函数的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　.  3.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的　　　　,则称其为分段函数.  2、 常用结论 1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R. (6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+,k∈Z. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为, +∞;当a<0时,值域为-∞,. (3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R. 3、 分类训练 探究点一　函数的定义域 角度1　求给定解析式的函数的定义域 例1 (1) 函数y=的定义域是 (　　) A.(0,1)∪(1,4] B.(0,4] C.(0,1) D.(0,1)∪[4,+∞) (2)函数f(x)=+(2-x)0的定义域为　 .  [总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,则定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误. 变式题 我们知道一天的温度y(℃)随时间t(h)的变化而变化,图2-6-1是某地一天4:00~12:00的温度变化情况,则温度y与时间t的函数中定义域为　　　　.  图2-6-1 角度2　求抽象函数的定义域 例2 (1) 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),则函数y=的定义域为 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(-∞,-1)∪(-1,1) (2)已知函数y=f(2x)的定义域是[-1,1],则函数y=f(log3x)的定义域是　　　　.  [总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;(3)若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 变式题 (1)已知函数f(x)的定义域为(-2,2),则函数g(x)=f(2x)+的定义域为 (　　) A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x<10} C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<1} (2)已知函数y=f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),则函数g(x)的定义域为　　　　.  探究点二　函数的解析式 例3 (1) 已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(3)= (　　) A.1 B.3 C.5 D.7 (2) 已知函数f(+1)=x-4,则f(x)=　　　　　　　.  (3)若f(x)+3f=x+-2log2x,且对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,则m的取值范围为　　　　.  [总结反思] 求函数解析式的常用方法: (1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 变式