第5讲　一元二次不等式及其解法-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第5讲　一元二次不等式及其解法 1、 基础知识 1.一元二次不等式 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异 实根x1, x2(x1<x2) 有两个相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　  　　　  　　　  ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 　　　  　　　  　　　  3.分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)·g(x)>0. 2、 常用结论 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形; (2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀. 3、 分类训练 探究点一　一元二次不等式的解法 例1 (1) 解不等式组:-1<x2+2x-1≤2. (2)解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0. [总结反思] (1)解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图像得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集. (2)求解含有参数的不等式时,首先需要对二次项系数进行讨论,再比较(相应方程)根的大小,注意分类讨论思想的应用. 变式题 (1)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 (　　) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) (2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 探究点二　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上的恒成立问题 例2 若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,2] D.(-∞,2] [总结反思] (1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足 (2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足 (3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,则要考虑a=0时是否满足. 变式题 已知函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为 (　　) A.{m|-1≤m≤0} B.{m|-1<m<0} C.{m|m≤0} D.{m|m<-1或m>0} 角度2　在给定区间上的恒成立问题 例3 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为 (　　) A.(-∞,0] B.0, C.-∞, D.(-∞,0)∪0,       [总结反思] (1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立转化为最大(小)值问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]). (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式的两端,即变量分离,则可避免分类讨论,直接求出参数范围. 变式题 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0,恒成立,则a的最小值为 (　　) A.- B.0 C.-2 D.-3 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例4 已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为 (　　) A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-∞,-1) D.(3,+∞) [总结反思] 利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数. 变式题 若对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是　　　　.  探究点三　一元二次方程根的分布 例5 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程的不同两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围; (2)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一