第6课时 一元二次方程-第7课时 分式方程与根式方程-2024年新教材高一数学暑假必刷题【初高中衔接·走好高中第一步】

第一部分知识衔接篇☑ 第6课时 一元二次方程 ■目标要求 所以x2+(1十2)x十2=0，即(x一x1)(x-2) =0,故x=x1或x=x2, 1.掌握一元二次方程的解法，学会利用一元二次方 因此，.x1,x2为方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)的两 程根的判别式去判断根的小数 个根 2.简单地介绍了韦达定理 (推论：以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二 3.会利用判别式判别方程根的情况，会运用判别式 求方程中参数的值或取值范围，会证明与方程有 次项系数为1)是x2+(x1十x2)x十x1·x2=0). 关的代数或几何问题 4,一元二次方程根与系数的关系 4.掌握韦达定理相关内容，会运用韦达定理求代数 如果ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根是x1,x2, 式数值，以及求方程中的参数值。 则x1十2= b ax1·2=C 5.会根据所给根，运用韦达逆定理反推出一元二次 a 方程.熟练解决“根的判别式”与“韦达定理”相结 ①.zf十x=(x1十x2)2-2.x1x2, 合的综合题。 ②1+1=2十 T1 T2 T1T2 ■知识储备 1.一元二次方程根的判别式的应用 a 2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） ■典例讲解 定理：如果一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0) 的两个根分别为x2,那么十2=一b, 知识一 一元二次方程的解法 【例1】解方程： (1)x(x-3)=x-3: (2)2x2-4x-1=0. 证明：因为一元二次方程ax2十b.x十c=0(a≠0) 的两个根为 【思路分析】(1)先移项，再利用因式分解法求 =6中金-0c,g-ba 解可得： 2a 2a (2)利用配方法求解即可. 所以1十2=一6hF-4ac+-方--4 【解】(1).x(.x-3)=r一3，x(x-3)-(x-3) 2a 2a =0 =-2b--b (x-3)(x-1)=0,则z-3=0或x-1=0, 2a a 解得x1=3,x2=1: 1x2=-6十-ac,-b一B-如e 2a 2a (2)2.x2-4x-1=0x2-2x= 2 (-b)2-(W-4ac)2=4ag=S (2a)3 Aa2 a' 2-2z+1=2+1,即x-1D2=号 【规律方法】一元二次方程根与系数的关系由 十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此 22=1+y6 则x1生5，解符=1一6 定律称为“韦达定理”，上述定理成立的前是△≥ 【归纳总结】本题考查了解一元二次方程 0. 因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把 3.韦达定理的逆定理：若两个实数x2,x1满足x1 左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形 +x2=-b 西=后，则必为方程a2 式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就 能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方 十bx十c=0(a≠0)的两个根. 程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元 证明：因为由a.r2+br十c=0得x2+b, 一次方程的间题了（数学转化思想），也考查了配 =0, 方法解一元二次方程。 13 )数学 初高中教材衔接 【举一反三】 【举一反三】 解下列方程： 已知关于x的方程x2+2(m一2)x+m2+4=0 (1)(y-2)(y-3)=12: 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两 (2)2.x2十3.x-1=0(请用配方法解). 个根的积大21，求m的值. 知识二一元二次方程根的判别式的应用 【例2】若x1和x2分别是一元二次方程2x2十5.x 一3=0的两根. 知识三一元二次方程根与系数的关系 【例3】已知关于x的方程x2+2.x+a+2=0. 1求的值：2)求子十青的值：(3)求 (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a x+x是的值 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程 【思路分析】分别变形为可以利用x1十x2和 的另一根 x1x2来表示的形式. 【思路分析】(1)关于x的方程x2十2x+a+2 【解析】：x1和x2分别是一元二次方程2x2 =0有两个不相等的实数根，即判别式△=2 5x一3=0的两根， 4ac>0.即可得到关于a的不等式，从而求得a 西+=-9， 14=-2 的范围： (2)设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系 (10:x1-x22=x1+x号-2x1x2=(x1十x2) 列出方程组，求出4的值和方程的另一根 4=(--4X(-昌)-+6=9 4 【解】(1)，b2-4ac=(2)2-4×1×(a+2) Aln-n- -4-4a>0 解得：a<-1. _(x1+x2)2-2x1x2 .a的取值范国是a<-1: xf·r2 (x1x2)2 (2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系 -2x(-是 1+x1=-2 37 得：1·x1=a+2