第一章 第三课时 空间向量基本定理-2024年新教材高一数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

假日必刷题·数学 第三课时 空间向量基本定理 的新课学得早 声→声→=声声>产声→ 【课标要求】 【练1】（多选题）已知A,B、C、D、E是空间五 1.了解空间向量基本定理及其意义. 点，若{AB,AC,AD}、{AB,AC,AE)均不能 2.掌握空间向量的正交分解.（雄点） 构成空间的一个基底，则在下列四个结论中， 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的 正确的是 ( 向量作为基底表示其他向量的方法.（重点） A.{AB,AD,AE}不构成空间的一个基底 知识点1基底的判断 B.{AC,AD,AE不构成空间的一个基底 1.如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个 C.{BC,CD,DE}不构成空间的一个基底 空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y, g),使得p= D.{AB,CD,EA}构成空间的一个基底 2.其中{a,b,c}叫做空间的一个 .a.b.c 知识点2用基底表示向量 都叫做基向量，空间任意三个不共面的向量 当基底确定后，空间向量基本定理中实数 都可以构成空间的一个基底， 组(x,y,g)是唯一的 判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能 基向量的选择和使用方法 构成基底：若不共面，则能构成基底 (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起 【例1】有以下命题：①如果向量a,b与任何向 点出发的三个向量作为基底 量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量 的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加 的关系是不共线：②O,A,B,C为空间四点， 法，否则考虑减法：如果此向量与一个易求的向 且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底， 量共线，可用数乘 则点O,A,B,C一定共面：③已知向量a,b,c 【例2】正方体ABCDA'B'C'D'中.O,O2,O 是空间的一个基底，则向量a十b,a一b也是 分别是AC,AB,AD的中点，以(AO,AO2, 空间的一个基底，其中正确的命题是() A.①② B.①③ AO为基底，AC=xAO1十yAO2+xAO3, C.②③ 则x,y,:的值是 D.①②③ 1 【分析】本题考查空间向量的基本定理，以 A.x=y=3=1 B.x=y=:=2 及共线向量与共面向量，考查分析问题解决 问题的能力，是基础题， C.x=y==2 D.x=y==2 根据空间向量的基本定理即可判断②③的正 误，找出反例判断①命题错误，即可得到正确 【解析】AC=AA+AD+AB 选项. =2(A店+AD)+号(A+AD+2(A 【解析】①如果向量a,b与任何向量不能构 成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是 +AB) 不共线，不正确. =号A花+号AD+号A店=AG+AG 反例：如果a,b中有一个向量为零向量，a,b 共线但不能构成空间向量的一组基底，所以 +AOz. 不正确 由空间向量的基本定理，得x=y==1. 【答案】A ②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC 【练2】若a=e1十e2十es,b=e1-e2-e,c= 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一 e1+e2,d=e1+2e2+3eg(e1、e2.eg为空间一 定共面：这是正确的， 个基底)且d=x0十b十c,则x,y、:的值分 ③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量 别 ()》 a十b,a一b,c,也是空间的一个基底：因为三 A-- 1 个向量非零不共线，正确. B 故选C, 51 【答案】C c-2 D.2-218 ·52· 第二部分开局之篇·赢定下一学期 的高分提得快 ☑突破疑难 2.空间向量基本定理说明，用空间三个不共面 的向量构成的向量组{a,b,c}可以表示空间 正交分解在立体几何中的应用 任意一个向量，并且表示结果是唯一的 (1)单位正交基底 3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、 如果空间的一个基底中的三个基向量两两 减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形 垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正 法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向 交基底.常用{i,j,k}表示 量过渡，直到全部用基向量表示. (2)正交分解 。解题有法 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向 基向量法解决长度、垂直及夹角问题的 量，叫做把空间向量进行正交分解. 步骤 ☑剖析典题 (1)设出基向量. 【例】如图所示，三棱柱ABCA1B,C1中，M, (2)用基向量表示出直线的方向向量， N分别是A:B,BC:上的点，且BM= (3)用引a=√/a·a求长度，用a·b=0台a⊥b, 2A M.CN=2B N.AB=a.AC=b,AA 用co0s0=日b求夹角， a·b =c. (4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角 问题 ☑课时勤演练 1.若{a,b,c}是空间的一个基底，则