第8章 平面解析几何-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（老高考)

第八章 平面解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 【考试要求】　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;2.掌握确定直线位置的几何要素;3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、截距式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系。 主干知识整合　　　　　　　　　　　　　　　　 基础梳理 　　1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°。 (3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0°,180°)。 2.斜率公式 (1)定义式:直线l的倾斜角为αα≠❶,则斜率k=tan α。 (2)坐标式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=。 [微点清]　❶当直线的倾斜角为时,斜率不存在。❷斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换,就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2。 3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2) 截距式❸ +=1(ab≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用 [微点清]　❸截距式中“截距”不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需分类讨论。 小题演练 一、基础题 1.直线x-y+1=0的倾斜角为 (A) A.30° B.45° C.120° D.150° 解析　由题得,直线y=x+的斜率为,设其倾斜角为α,则tan α=,又0°≤α<180°,故α=30°。故选A。 2.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是 (A) A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析　由题意知<0,即<0,解得-2<a<1。故选A。 3.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为 x+13y+5=0 。  解析　由已知,得BC的中点坐标为,-,且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率k=-,故BC边上的中线所在直线的方程为y+=-x-,即x+13y+5=0。 二、易错题 4.(混淆倾斜角与斜率的关系致误)若直线x=2的倾斜角为α,则α的值为 (C) A.0 B. C. D.不存在 解析　因为直线x=2垂直于x轴,所以倾斜角α为。 5.(忽视斜率与截距对直线的影响致误)如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第 三 象限。  解析　因为A·C<0,B·C<0,Ax+By+C=0,所以y=-x-,A·B>0,->0,所以-<0,所以直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,不经过第三象限。 6.(忽视截距为0的情况致误)经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 x-4y=0或x+y-5=0 。  解析　设直线l在x轴、y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),所以l的方程为y=x,即x-4y=0。若a≠0,设l的方程为+=1,因为l过点(4,1),所以+=1,所以a=5,所以l的方程为x+y-5=0。综上可知,所求直线的方程为x-4y=0或x+y-5=0。 关键能力突破　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线的倾斜角与斜率 自练自悟 1.直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是 (B) A. B. C. D. 解析　直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,因为α∈,所以≤cos α≤,因此k=2·cos α∈[1,]。设直线的倾斜角为θ,则tan θ∈[1,]。又θ∈[0,π),所以θ∈,即倾斜角的取值范围是。故选B。 2.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 (A) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析　由题意得=1,解得m=1。 3.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (C) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k1<k3<k2 D.k3<k2<k1 解析　由题图可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,故选C。 4.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为 4 。  解析　因为kAC==