第3章 三角函数、解三角形-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（老高考)

第三章 三角函数、解三角形 第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 【考试要求】　1.了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　基础梳理 　　1.角的概念 (1)象限角:在平面直角坐标系中,如果角的顶点在原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角α的终边落在第几象限就称α为第几象限角,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限。 (2)终边相同的角❶:两角的终边重合。 (3)与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z}。 (4)各象限角的集合为:第一象限角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},第二象限角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z},第三象限角:{a|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z},第四象限角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}。 [微点清]　❶终边相同的角不一定相等,但相等角的终边一定相同。 2.角度制与弧度制 (1)1度的角:把圆周分成360份,每一份所对的圆心角叫做1°的角。 (2)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角。 (3)1°= rad;1 rad=°。 (4)若扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α,则此扇形的弧长l=|α|r,面积S=|α|r2=lr。 3.任意角的三角函数定义 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0)。 (2)三角函数值在各象限的符号❷ sin α cos α tan α Ⅰ + + + Ⅱ + - - Ⅲ - - + Ⅳ - + - [微点清]　❷三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦。 小题演练 一、基础题 1.67°30'化为弧度是 (A) A. B. C. D. 解析　67°30'=67.5×=π。 2.已知α是第一象限角,那么是 (D) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 解析　由α是第一象限角得2kπ<α<2kπ+,k∈Z,kπ<<kπ+,k∈Z,故是第一或第三象限角。 3.已知角α的终边经过点P(2,-3),则sin α= - ,cos α=  ,tan α= - 。  解析　因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r==。于是sin α===-,cos α===,tan α==-。 二、易错题 4.(终边相同角的表示不准致误)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 (C) A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析　由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,应为+2kπ或k·360°+45°(k∈Z)。 5.(忽视角终边所在象限致误)已知角α的终边与单位圆交于点M,则cos α=  ,sin α= ± 。  解析　由题意知+y2=1,所以y=±。由三角函数的定义知cos α=x=,sin α=y=±。 6.(不同象限三角函数值的符号不同)当α为第三象限角时,-+的值是 1 。  解析　因为α为第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,tan α>0,所以-+=-1-(-1)+1=1。 关键能力突破 类型一　角的概念及其表示 自练自悟 1.角-2 023°是 (B) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析　因为-2 023°=-6×360°+137°,所以它是第二象限角。 2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 (C) 解析　当k=2n时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α的终边和≤α≤的终边一样。当k=2n+1时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边和π+≤α≤π+的终边一样。故选C。 3.设集合M=,N=,那么 (B) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=⌀ 解析　由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇函数,而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N。故选B。 4.设α为第二象限角,且=-cos,则为 (C) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析　因为α是第二象限角,所以90°+k·360<α<180°+k·360°,k∈Z,所以45°+k·180°<<90°+k·180°,k∈Z。当k=2n,n∈Z时,为