专题08 二次函数与不等式问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题08 二次函数与不等式问题 （2023·山东聊城·统考二模）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤当时，有，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【详解】解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴， ∴，，∴，∴，故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点， ∴另一个交点坐标为，故③错误； ④从图象可以知道，抛物线顶点为， ∴抛物线与直线有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④正确； ⑤由图象可知，当时，，故⑤正确； 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合． （2023·湖南永州·统考二模）我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题： 例：已知关于x的方程有实数根，求t的最大值？ 解：由题意可知，当t=0时，方程有实数解 当时， 即 ∴ 设函数 当时， 综上 (1)已知关于x的方程有实数根，则m的最大值为______； (2)已知方程有实数根，则x-2y的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）仿照例题得出，进而根据二次函数的性质即可求解． （2）令，则，将代入，得，根据题意得出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵关于x的方程，即有实数根， ∴， ，， 即 ∴ 设函数 当时， 综上， 故答案为：5． （2）令，则，将代入， 整理得，该方程有实数根， ∴ ∴ 有最大值 即的最大值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （2023·安徽蚌埠·统考二模）在平面直角坐标系中，设抛物线，其中． （1）此抛物线的对称轴为________（用含a的式子表示）； （2）若抛物线上存在两点和，当时，则a的取值范围是___________． 【答案】直线 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）根据抛物线的性质可得，进而可得关于a的不等式组，求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线； 故答案为：直线； （2）∵抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向上，和， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴ 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质、熟练掌握二次函数的性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)结合函数图象当时，求自变量的取值范围； (3)点为抛物线上一点且到轴距离小于，结合函数的图象求点纵坐标的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）令，解方程求得的坐标，进而结合图象即可求解； （3）根据解析式可得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，根据，且，根据增减性，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将和代入 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）由(1)可知抛物线的解析式为， 令，则，得，， ，， 结合函数图象可得，当时，自变量的取值范围为或； （3）， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ，且， 当时，取得最大值，最大值是， 当时，； 当时，； ． 【点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式解析式，求与坐标轴的交点坐标，根据图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键． （2023·江苏宿迁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线的抛物线也经过点、点，并与轴正半轴交于点． (1)抛物线的函数表达式； (2)设点，点在抛物线对称轴上，并使得的周长最小．过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于、两点，试探究的值是否为定值？说明理由； (3)将抛物线适当平移后，得到抛物线，若当时，恒成立，求的最大值． 【分析】（1）根据一次函数图像与坐标轴的交点分别解出点的坐标，根据抛物线的对称轴解出点的坐标，根据待定系数法即可求解抛物线的解析式； （2）根据轴对称求线段的最小值，图形结合分析，计算出点的解析式，再解出点的坐标，用点分别表示出直线的解析式，根据勾股定理分别的值，由此即可求解； （3）根据抛物线的平移确定平移为左右平移，由此确定的二次项系数，图形结合，根据二次函数与直线的交点的情况判断的