专题07 多函数综合与图象变换问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题07 多函数综合与图象变换问题 （2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】求出求出交点、的坐标，根据已知图象确定，与点的横坐标的正负，进而推断新抛物线的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案． 【详解】解：由，得， 解得，或， 抛物线和直线分别交于点和点， ，的横坐标为：， 抛物线的开口向上，交点在第三象限内， ，， 抛物线中，，对称轴， 此抛物线的开口向下，对称轴在轴的左边， 符合此条件的图象是C， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定和点横坐标的取值． （2023·湖北武汉·统考一模）已知函数为实数，下列四个结论： 当时，图象与坐标轴所夹的锐角为； 若，则当时，随着的增大而减小； 不论为何值，若将函数图象向左平移个单位长度，则图象经过原点； 当时，抛物线顶点在第一象限． 其中正确的结论是______ （填写序号） 【答案】 【分析】由一次函数即可判断；根据二次函数的性质即可判断；得到平移后的解析式即可判断；求得顶点坐标即可判断． 【详解】解：当时，函数为一次函数，由于系数为，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为，故错误； 若，抛物线的对称轴为直线，则当时，随着的增大而减小，故正确； 当函数图象向左平移个单位时，解析式为，则其图象过原点，故正确； 当时，对称轴直线，顶点纵坐标为，故抛物线顶点在第一象限，故正确； 故答案为：． 【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线，的解析式，设过原点的直线解析式为，过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，即可求解． 【详解】解：∵抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点， ，， 设的解析式为，代入，得， ， 解得：， ∴的解析式为， ∵抛物线由平移得到，截得轴上的线段长． ∴， 则的解析式为， 即 设过原点的直线解析式为，与，分别交于点，如图所示， 联立， 即， ∴，， ∴、两点横坐标之差为， 联立， 即， ∴，， ∴、两点横坐标之差为， ∵ ∴， 解得，故直线解析式为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，将一次函数与二次函数联立求得交点横坐标之差是解决本题的关键. （2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟）已知抛物线与直线有且只有一个公共点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)将该抛物线沿直线沿左上方平移个单位后得到抛物线C，点A是抛物线C上的的任意一点，且点A在第一象限的抛物线上，点A的横坐标为m，A和B两点关于原点对称，过点A作轴，垂足为点D，连接交抛物线于M、N两点（点M在点N的右侧）． ①用含m的式子表示直线的解析式； ②设直线与直线与x轴分别交于P、Q两点，求证：为定值． 【分析】（1）联立抛物线与直线：，根据求出，即可得到抛物线的解析式； （2）①根据抛物线解析式求出顶点坐标为，得到点的坐标满足解析式，由此得到将该抛物线沿直线左上方平移个单位后得到抛物线C解析式为：， 可设点A的坐标为，，得到点D坐标为，点B坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式； ②由，得，求解方程得，得到当时点M与点N的坐标，分别求出直线的解析式，直线的解析式，由此得到点P、Q的坐标，由此计算即可得为定值． 【详解】（1）联立抛物线与直线：， ∵，即，解得， 这条抛物线的解析式为； （2）， 该抛线的对称轴为直线，顶点坐标为， 点的坐标满足解析式， 抛物线的顶点E在直线上， ，直线过原点， 将该抛物线沿直线向左上方平移个单位后得到抛物线C解析式为：， 点A在第一象限的抛物线C上， 可设点A的坐标为，， 轴，垂足为点D， 点D坐标为，， A、B关于坐标原点对称， 点B坐标为， ①设直线的解析式为， 代入B、D坐标得，得， 故直线的解析式为； ②证明：由，得， 化简整理得，， 点在N点的右侧， ∵时，，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， ； 同理可得直线的解析式为， ， ， ， ， ∴为定值． 【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （2023·河北石家庄·统考二模）如图，函数的图象过原点，将其沿轴翻折，得到函数的图象，把函数与的