专题06 二次函数中的最值问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题06 二次函数中的最值问题 （2023·河北保定·统考模拟）对于二次函数，已知，当时，有下列说法： ①若y的最大值为，则； ②若y的最小值为，则； ③若，则y的最大值为． 则上达说法（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确 【答案】C 【分析】根据二次函数可得称轴为直线，由，可得抛物线开口向下，再由，所以当时，抛物线单调递增，从而可得时，y有最大值，时，y有最小值，把、和、分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把、，代入解析式求得y的最大值即可判断③． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 因为，所以当时，函数单调递增， 若y的最大值为，则，解得或（舍去），故①错误； 若y的最小值为，则，解得或，此时不存在m，故②错误； 若，则，所以y的最大值为，故③正确， 故选C． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （2023·福建三明·校联考二模）已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，得到二次函数的对称轴为，图像开口向下；再由二次函数图像经过点，两点，得到，从而由二次函数增减性知到对称轴距离比到对称轴距离近，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数（是常数，且）的最大值为， 当时有，即二次函数的对称轴为，图像开口向下， 二次函数图像经过点，两点， ，即， ，即， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得； 四个选项中的数字，只有满足上述要求， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图像与性质，难度较大，读懂题意，将条件准确转化为相应的代数式求解是解决问题的关键． （2023·湖北武汉·统考二模）函数（b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最小值；③若，点，在该函数图像上，则当时，；④若关于x的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为．其中正确的结论是________（填写序号） 【答案】①④ 【分析】根据二次函数的图象与性质及解一元二次方程的方法进行判断即可． 【详解】解；∵b为常数，对一次函数的对称性不具有影响， 如图，函数具有对称性，对称轴是直线，故①正确，    ∵函数， ∴函数有最小值0，此时，故②错误； 当时，函数，如图所示， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴则当时，和的大小不确定，故③错误；    ∵若关于x的方程有四个实数根， ∴当时，解得，， 当时，解得，， ∴，故④正确， 故答案为：①④． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （2023·河北唐山·统考二模）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点．是拋物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求拋物线的解析式； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ (3)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据点P与点C的位置，结合图象分类讨论即可； （3）线经过C点时，直线与图象G有两个交点，再结合图象，确定m的取值即可． 【详解】（1）将代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）在中，令，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，， ∴或， 即当时，图象G的最大值与最小值的差为4； 当时，图象G的最大值为9，最小值为5， ∴图象G的最大值与最小值的差为4； 当时，图象G的最大值为，最小值为5， ∴， 解得（舍去）； 当时，图象G的最大值为5，最小值为， ∴，或 解得或（舍去）； 综上所述：或时，图象G的最大值与最小值的差为4； （3）当时，，此时图象G与直线有且只有一个公共点C，如图：    当时，，此时图象G与直线有且只有两个公共点，如图：    当时，，此时图象G与直线有且只有一个公共点， 综上所述：当或时，图象G与直线有且只有一个公共点． 【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （2023·湖南永州·统考三模）我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题： 例：已知关于的方程有实数根，求的最大值？ 解：由题意可知，当时，方程有实数解 当时， 即 ∴ 设函数 当 时， 综上 （1）已知关于的方程有实数根，则的最大值为__________； （2）已知方程有实数根，则的最大值为__________． 【分析】（1）仿照例题得出，进而根据二次函数的性质即可