专题05 二次函数的对称性-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题05 二次函数的对称性 如图，抛物线交x轴于，B两点，与y轴的交点C在，之间（包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤若，是抛物线上的两点，当时，； 其中结论正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由图象及题意可知：，根据对称轴为直线得， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线交x轴于， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； 当时，该抛物线有最高点，即最大值是， 当时，则有， ∴，即为（m为实数），故④错误； ∵若，是抛物线上的两点，且对称轴为直线， ∴， 根据抛物线的对称性可知点C的对称点为，则当时，；故⑤正确； 故选C． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （2023·湖北武汉·统考模拟）已知二次函数的图象过点，对称轴为，给出以下结论：①；②若、为函数图象上的两点，则；③若，且，则；④关于x的一元二次方程的解是，，其中正确的结论是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数的性质，结合题干中的信息，一一判断即可解决问题． 【详解】解：抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴的另一个交点为， ，， ，， ， ， ， 故①正确； ∵、为函数图象上的两点，又点离对称轴近， ， 故②错误； ，且， ，关于对称轴对称， ， ， 故③正确； ， ， 由平移规律可知，函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到的， 关于的一元二次方程的根为或1， 关于的一元二次方程的解是或2， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型． （2023·河北唐山·统考二模）如图，已知点，在抛物线的图象上，且． (1)若抛物线的图象经过点． ①写出的对称轴，并求的值及与轴的交点坐标； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，点，在对称轴的异侧，直接写出的取值范围． 【分析】（1）①问中根据抛物线解析式可以得出抛物线的对称轴，根据图象过点，将点坐标代入解析式直接求出，得出值后，只需将代入解析式，得出，即为与轴的交点坐标；②问中根据抛物线解析式、对称轴和顶点坐标，结合对称性求出或的坐标，即可求出顶点到的距离． （2）因为点，在对称轴的异侧，当时，分和两种情况讨论，结合和的取值范围及函数最大值与最小值，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线C：经过，将其代入得， ∴． ∴抛物线的解析式为 令，则 ∴抛物线与轴的交点坐标是； ②∵，∴点，点关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线，∴ 又∵，解得：，， 当时，， ∵顶点坐标为， ∴当时，顶点到的离． （2）若M，N在对称轴的异侧，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵函数的最大值为，最小值为—1， ∴，∴，∴，∴． 若M，N在对称轴的异侧，，， ∵，∴， ∵函数的最大值为，最小值为—1， ∴，∴，∴，∴． 综上所述，． 【点拨】本题考查了二次函数的图像及性质、二次函数在区间上的最值、二次函数的增减性，含参时，重点考查数形结合思想与分类讨论思想，针对区间内的二次函数增减性进行分类讨论，主要借助区间内的图像来数形结合分析，二次函数在区间内的图像取决于开口方向和对称轴相对区间的位置两方面决定，解决二次函数在某区间内的最值问题，先看开口，再看对称轴，分析图像研究增减性，从而得出最值是解题的关键． 在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式． (2)若、为此二次函数图象上两个不同点，当时，，求a的值． (3)若点在此二次函数图象上，且当时y随x的增大而增大，求t的范围． 【分析】（1） 将，代入即可； （2）由可得这两个点关于抛物线的对称轴对称，再利用对称轴公式计算即可； （3）由题意可得，分和分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴, ∴这个二次函数的表达式为：； （2）∵， ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴； （3）解：点在二次函数图象上， ∴， ∵当时y随x的增大而增大， 当时，有， ∴， ∴， 当时，不符合题意舍去， ∴． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键． （2023·河北石家庄·统考二模）已知抛物线（a，m均为常数，且），G交y轴于点，点P在抛物线G上，连接，且平行于x轴． (1)用a表示m，并求抛物线G的对称轴及P点坐标； (2)当抛物线G经过时，求G的表达式及其顶点坐标； (3)如果把横、纵