专题04 二次函数与各项系数符号之间的关系-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题04 二次函数与各项系数符号之间的关系 （2023·广东汕头·校联考一模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③函数的最大值为； ④当时，． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．l C．2 D．3 【答案】D 【分析】由已知可得，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标，从而可完成解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线， ∴， ∴； 由图象知，抛物线开口向下，则， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴②正确； ∵，， ∴抛物线有最大值，且最大值为， 故③正确； 由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 结合图象知：当时，，故④错误； 即正确的结论有3个； 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （2023·山西大同·统考模拟）如图，二次函数的图象与轴交于点且的横坐标在和0之间，与轴交于负半轴，对称轴为直线，对于该二次函数，下列结论正确是（    ） A．点一定在该抛物线上 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴为直线，得，可判断B；将代入得，可判断A；根据当时，，可判断C；根据图象开口方向、与y轴交点位置可判断D． 【详解】解：二次函数的图象对称轴为直线， ， ， 故B选项结论错误； 当时，， 点一定在该抛物线上， 故A选项结论正确； 由图可知，当时，， ， 故C选项结论错误； 图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， ， 故D选项结论错误； 故选A． 【点拨】本题考查根据函数图象判断式子的符号，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：；；；，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论；由对称轴及对称轴公式可判断结论；抛物线的对称轴直线，由时，，即可判断结论；由时，，即可判断结论． 【详解】解：开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故结论错误； 对称轴为直线， ． ． 故结论正确； ， ， 当时，， ，故结论不正确； 当时，，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的对称轴为直线，，得出；当时，函数中，得出，根据当时，，得出，即可得出；根据，得出，根据，得出；根据，，得出，即，变形为，即可得出． 【详解】解：由图象可知：函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵当时，函数中， 即， 当时，，即， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选D． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是将图象中特殊的点代入函数解析式，判定式子符号． 如图，抛物线（a，b，c是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①；②；③；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，；⑤若m为任意实数，则．其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】①分别判定出，，即可得出，得出①错误； ②根据一次函数解析式和抛物线对称轴，求出抛物线与轴的一个交点为，得出，根据抛物线的对称轴为，得出，求出，得出，即可判断②错误； ③根据，，得出，判断③正确； ④根据题意得出，即，由②得，从而得出，判断④正确； ⑤当时，抛物线取得最小值，最小值为：，当时，代入得，整理得出，判断⑤正确． 【详解】解：①直线（是常数）的图象过一、二、四象限， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ②∵ 令得， ∴直线与轴交点为， ∴抛物线与也交于， ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 把代入得：， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴， 解得：，故②错误； ③由②知，抛物线过点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④根据题意知，当时，直线与抛物线的y值相等， ∴， ∴， 由②得， ∴，故④正确； ⑤当时，抛物线取得最小值，最小值为：， 当时，代入得， 即 ∴，故⑤正确， 综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 已知抛