22.3 实际问题与二次函数-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

22.3 实际问题与二次函数 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识； 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学型。 1.利用二次函数解决实际问题的方法 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题。利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题。在研究实际问题时，要注意自变量的取值范围应符合实际意义。 2.利用二次函数解决实际问题的类型及步骤 （1）求最大(小)值问题 ①定：审题确定出问题中的两个变量，并用字母表示出来。 ②求：根据问题中的等量关系列出等式，变形求出函数解析式。 ③解：利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。 ④答：写出实际问题的答案。 常见类型：如求最大利润、最大面积、最小周长等。 （2）抛物线型问题 ①建：建立适当的平面直角坐标系。 ②求：用待定系数法求出抛物线的解析式。 ③解：利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。 ④答：写出实际问题的答案。 常见类型：如涵洞、桥梁、球类运动轨迹等。 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为． (1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示） (2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围 (3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由． 1．某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为，矩形面积为． (1)矩形面积_________（用含的代数式表示）； (2)当矩形动物场面积为时，求边的长． (3)能否围成面积为矩形动物场？说明理由． 2．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长的墙，想用长为的网绳围成一个矩形给奶奶养鸡，怎样使矩形的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设的边长为，矩形的面积为，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围； (2)x为何值时，矩形的面积最大？ 一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 1．如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解析式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)现有一身高为米的同学也想参加这个活动，请问他在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态） 2．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面6m，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由， 原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练． (1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直高度y/m 求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩． (2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？ 1．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，