专题09 二次函数中的线段周长问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题09 二次函数中的线段周长问题 （2023·山东临沂·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接，先求出二次函数顶点坐标为，进而利用待定系数法求出二次函数解析式为，求出点B的坐标，进而求出点C的坐标，利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此利用三角形面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵二次函数图象经过，且有最小值， ∴二次函数对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标为， 设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵A点关于y轴的对称点为B点，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴， ∴， 故选B． 【点拨】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，三角形面积等等，证明四边形是矩形，得到是解题的关键． 如图，抛物线为常数且与轴交于点，过点作轴的垂线，与交于点，点是的顶点.则下列说法； ①当时，射线经过线段的一个端点； ②当时，射线经过线段的一个四等分点； ③当时，射线会经过线段的中点； ④当时，射线会经过线段的一个四等分点. 其中错误的是　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】由求出，，分别求出的中点为，线段的四等分点坐标为，，，，，顶点，直线的解析式为，再结合选项进行判断即可. 【详解】解：①当时，， 对称轴为直线， ， 令，则， ， 轴， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， 点在直线上， 射线经过线段的一个端点； 故①不符合题意； ②当时，， ，， 可求直线的解析式为， 当时，， 解得， 直线上有一点，， 令，则， 解得或， ， ， 线段的四等分点坐标为，，，，， 射线经过线段的一个四等分点； 故②不符合题意； ③与轴的交点， 令，则， 解得或， ， 的中点为， 的顶点为， 直线的解析式为， 将点代入， ， ， 不存在， 故③符合题意； ④线段的四等分点坐标为，，，，， 直线的解析式为， 将点，代入，可得； 将点代入，可得； 将点，代入，可得； ， 射线不会经过线段的一个四等分点， 故④符合题意； 故选：B. 【点拨】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，待定系数法求直线的解析式是解题的关键. （2023·江苏宿迁·统考一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________． 【答案】 【分析】求出的坐标，设出点坐标，表示出的解析式，进而求出的坐标，再进行计算即可． 【详解】解：，当时，， 解得：， ∴，对称轴为直线， ∴， 设， ∵点P为x轴下方抛物线上任意一点， ∴， 设直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为； ∴当时，， ∴； 同理可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴； ∴ ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的对称轴，以及抛物线与轴的交点坐标，是解题的关键． （2023秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， 直线 与该二次函数的图像交于 ， 两点， 是线段 上的一个动点， 过 作 轴的垂线交二次函数的图像于点 则线段 的最大值为____________． 【答案】 【分析】根据题意，待定系数法求得二次函数的解析式为，将点,代入直线，得，设，则，进而得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， ∴设二次函数解析式为：，将点代入得， ， 解得：, ∴二次函数的解析式， 将点,代入直线，得， ∴直线解析式为， ∵ 是线段 上的一个动点， 设， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵，， 当时，线段 的最大值为 故答案为： 【点拨】本题考查了二次函数综合，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为． (1)写出C点的坐标______，B点的坐标______； (2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式； (3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据旋转的性质结合点A的坐标、的长度，即可找出的值，进而即可得