第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算（8类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算 课程标准 学习目标 ①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个. 【答案】7 【详解】与模长相等的向量有：共有7个. 故答案为：7 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A. 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________. 【答案】 【详解】由题可设， 因为， 所以， 因为M，E，F，G四点共面， 所以， 解得. 故答案为：. 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 题型01 空间向量的有关概念