第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【题型归纳目录】 题型一：直线与椭圆的位置关系 题型二：椭圆的弦 题型三：椭圆的综合问题 题型四：直线与双曲线的位置关系 题型五：双曲线的弦 题型六：双曲线的综合问题 题型七：直线与抛物线的位置关系 题型八：抛物线的弦 题型九：抛物线的综合问题 【知识点梳理】 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 1 焦点弦长 2 3 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 【典例例题】 题型一：直线与椭圆的位置关系 【例1】（2023·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【对点训练1】（2023·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【对点训练2】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练3】（2023·湖北·高二统考期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的弦 【例2】（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试）过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______ 【对点训练4】（2023·内蒙古包头·高二包头市第六中学校考期末）已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则__________． 【对点训练5】（2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为______ 【对点训练6】（2023·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_____． 【对点训练7】（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）已知椭圆被直线截得的弦长为6，则直线①②③④⑤中被椭圆截得的弦长也是6的直线有__________.（填上直线的代号） 题型三：椭圆的综合问题 【例3】（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆过点. (1)求C的标