第13讲 立方根-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（浙教版）

第13讲 立方根 1．掌握立方根的定义，并学会计算一个数的立方根； 2．学会区分平方根和立方根的概念与性质； 知识点：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 考点一：立方根的概念理解 例1．（2022秋·八年级单元测试）下列说法正确的是（ ） A．没有立方根 B．是的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．的立方根是 【变式训练】 1．（2022秋·八年级单元测试）下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②无理数是开方开不尽的数； ③负数没有立方根； ④的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是， 其中错误的是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2022秋·八年级单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是__________（填序号）． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数的立方根． 考点二：求一个数的立方根 例2．（2023春·福建福州·七年级统考期中）我国著名数学家华罗庚在一次出行途中看到一本杂志上有一道求的立方根的智力题，华罗庚脱口就说出了正确答案：39，现已知的立方根是一个整数，这个整数是（    ） A．16 B．26 C．36 D．38 【变式训练】 1．（2023春·广东中山·七年级校联考期中）有一个数值转换器，原理如下，当输入时，输出的y是（    ）    A．4 B． C． D． 2．（2023·四川内江·统考中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________． 3．（2023春·江西南昌·七年级统考期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 0.04 4 400 4000 … … x 2 y 200 … (1)表格中的两个值分别为：x= ；y= ； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 考点三：立方根的实际应用 例3．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的倍，另一个正方体其表面积是（　　） A．48 B．96 C． D． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则___________cm． 3．（2022秋·七年级单元测试）将一块体积为 的正方体铝块改铸成8个同样大小的小正方体铝块，求每个小正方体铝块的表面积． 考点四：算术平方根和立方根的综合应用 例4．（2023春·七年级课时练习）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则_