第12讲 实数-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（浙教版）

第12讲 实数 1．掌握实数的定义与分类，理解实数与数轴上点的关系； 2．掌握无理数的概念； 3、学会比较实数的大小； 知识点：实数 实数 （1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 （2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。 （3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 1. 实数的分类 （4）实数与数轴上点的关系： 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 2. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数。 人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… ，，，，，等都是无理数。 知识点四：实数的大小比较 1、实数的倒数、相反数和绝对值 （1）相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 （2）绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 （3）倒数 如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 2、数轴和实数大小比较 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 考点一：无理数的概念 例1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）下列实数，，，，中，无理数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（2023·浙江金华·统考三模）在实数，，，中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西汉中·统考一模）已知实数 ，0.34， ，π， ，其中为无理数的是______. 3．（2022秋·七年级单元测试）把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内： 0，，，4，，，，，，，，． 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 考点二：实数的概念 例2．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【变式训练】 1．（2022秋·八年级课时练习）下列说法错误的个数有（    ） ①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数； ⑤数轴上的所有点都表示实数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2021春·全国·七年级专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 3．（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 考点三：实数的分类 例3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）下列数中，0.4583、，3.14，，﹣，，0.373373337…（每两个7之间增加一个3），，有理数有(   ) A．2个