第2章 等式与不等式（全章复习与测试）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第2章 等式与不等式全章复习与测试 【知识梳理】 1.不等式的性质 （1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系 ；； （2）不等式的基本性质 性质1.（传递性）如果，那么 性质2.（加法性质）如果，那么 性质3.（乘法性质）如果，，那么；如果，那么 （3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？ 推论1. ； 推论2. 推论3. ； 推论4. 推论5. ； 推论6. 推论7. （4）如何比较不等式的大小？ ①作差法 ②作商法 【总结】 不等式证明的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ； （8）图象法. 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. 2. 解不等式 （1）一元一次不等式的解集的讨论： 2.不等式的性质 （1）不等式的解集： 当时，解集为；当时，解集为； 当且时，解集为；当且时，解集为. （2）一元二次不等式的解集的讨论： 一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程的两个不相等的实根时，不妨设为，且） 【总结】 1、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的联系： 一元二次方程的两个根即为一元二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标. 2、解一元二次不等式的步骤： （1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）； （2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； （3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式 . 记忆口诀： 大于取两边，小于取中间（前提）. 【拓展】一元二次方程根的分布理论： 1、方程在上有实数解，首先要讨论最高次项系数是否为0，其次，若，则一定有． 2、方程在上有两根充要条件是；在上有两根的充要条件是；在和上各有一根的充要条件分别是： . 若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．当然也可以利用参变分离结合函数图像来做 （3）分式不等式的解法 同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式） ①同解； ②与不等式组同解. （4）一元高次不等式的解法——标根法 其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集. 若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）： 【提醒】 标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解 （5）绝对值不等式的解法 方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）； 方法二：应用数形结合思想； 方法三：应用化归思想等价转化. ①最简单的绝对值不等式的同解变形 ；； 或； 或. ②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形 ； 或； . 【拓展】不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题： （1）恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上； 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上. 补充：不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法. （2）能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上； 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上. （3）恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. （5）含参不等式的解法 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 【注意】 1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…” ； 2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集； 3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性； ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论； ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论. 3.常用的基本不等式 （1）如果，那么（当且仅当a=b时等号成立）； （2）如果，那么≥（当且仅当a=b时等号成立）. 【提醒】 基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等； 如：若变数