《鸽巢原理》（教案）-六年级下册数学人教版

第1课时　鸽巢原理 备教材内容 1.本课时学习的是教材68～69页的内容。 2.例1借助把4支铅笔放进3个笔筒中的操作情境，介绍了“鸽巢原理”的最基本形式。例2介绍了另一种类型的“鸽巢问题”，即把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中(k是正整数，n是非0自然数)，那么一定有一个鸽巢中至少放进了(k＋1)个物体。 3.教材通过两种思考方法的呈现，引导学生对其进行比较，从而逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，继而归纳出一般性的结论，为后续学习打下基础。 4.最早提出“鸽巢原理”（抽屉原理）的是19世纪德国数学家狄利克雷，因此这个原理也成“狄利克雷原理”，又因在讲述这个原理时，人们经常以抽屉、鸽巢为例，所以也称“抽屉”或“鸽巢”原理。这个原理广泛应用于现实生活中，如在招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含其中的“鸽巢原理”。 “抽屉原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，一种数学的思想方法。教材所安排的内容是第一抽屉原理，这个原理总共有三个，通俗可以表述如下： 原理1:把多于n个的物体放到n个抽屉里，则总有一个抽屉里至少有2个物体； 原理2:把多于kn个物体放到n个抽屉里，则总有一个抽屉里至少有（k+1）个物体； 原理3:把无穷个物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。 三个例题的分析如下： 例题1，介绍简单的“抽屉问题”，并用“枚举法”、“反证法”、“假设法”等思考问题解释这一现象，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，建立“抽屉问题”的基本模型。教材介绍的第一种方法是用操作的方法进行枚举，通过直观的摆铅笔，发现把4支铅笔放进3个笔筒中一共只有四种情况，在每一种情况中都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。第二种方法是采用“假设”的思路进行推理：先放3支，假设没有任何笔筒有2支，即每个笔筒只放1支，剩下1支放入任何笔筒中，这个笔筒就有2支了。解释这个问题用“假设法”说明比较容易。 例题2，描述了“抽屉原理”更为一般的形式。即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）个元素。”若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。同时例2也是让学生从“简单理解”到“算术说理”的过渡，进一步建立“抽屉问题”的一般模型。教材提供了让学生把7本书放进3个抽屉的情境，学生采用图示、分解数、假设等方法，教材用了反证法的形式，还利用了有余数的除法解决这个问题，可以得出“抽屉至少有‘商+1’个物体”，也可以“a÷n=b……c，总有一个抽屉至少可以放（b+1）个物体”的抽象形式刻画。 例题3，是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子，依据学生对“抽屉”“物体”及其相互之间关系来分析和解决实际问题。两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”，本例题中的“4个红球和4个篮球”很容易给学生造成干扰，要引导学生分析出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1，就能有两个球同色”而和每种颜色的球的个数无关。 备学情 教之困： 1.教师对抽屉原理的认识，如抽屉原理的本质内容和意义是什么？它的应用领域有哪些？原理模型在实例应用中如何运用体现？ 2.抽屉原理的很多概念对小学生来说都是极其专业和高深的，如何让学生理解如此抽象、专业的数学原理？ 3.抽屉原理的概念教学应该到哪一层？ 学之难： 1.学生对抽屉原理的理解很困难，对其描述方式也很陌生。 2.运用抽屉原理解决实际问题时，对“物体”和“抽屉”的认识模糊不清，特别是解决抽屉构造类型习题很困难。 备策略 1.以学生熟悉的或者感兴趣的材料为学习素材，让学生经历“数学证明”过程。 “抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，如果学生的思维能力较弱，学习时面临的压力就会很大，因此教学时我们应该选择一些学生常见的、熟悉的事物，或者以一些有趣的、新颖的内容作为学习素材，以增强学习材料的吸引力，提升学生学习的积极性，例如在例1教学前设计一个抽扑克牌的魔术引入，学习时用学生熟悉的、可操作的铅笔和笔筒为操作素材，练习时可以设计抢椅子、猜生日、涂色等有趣的活动。这些既可以分解学生的学习难度，又可以让学生清晰的建立“待分物品”和“抽屉”之间的表象。 在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明的。如要证明“有多于n个元素分成n个集合，那么一定有一个集合中，至少含有2个元素”。证法为“如果每个集合中至多有1个元素，那么元素的总数至多是n个，而不是题设的多于n个，所以这不可能”。在小学阶段虽然并不需要学生对涉及的“抽屉问题”的相关现象给出如此严格、形式化的证明，但仍可以引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。如本单元的习题，一般都是以“为什么”为问题要学生来解释原因的。这样的形式，学生很少经历过，