课时达标检测13 不等式及其性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

课时达标检测(十三)　不等式及其性质 基础达标 　 一、单项选择题 1.若x≠2且y≠-1,则M=x2+y2-4x+2y与-5的大小关系是 (　　) A.M>-5 B.M<-5 C.M=-5 D.不能确定 解析　因为x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2,又若x≠2且y≠-1,所以(x-2)2+(y+1)2>0,故M>-5。故选A。 答案　A 2.下列命题中正确的是 (　　) A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b C.若>,则a>b D.若<,则a>b 解析　对于A,c>0时,结论成立,故A不正确;对于B,a=-2,b=-1,满足a2>b2,但a<b,故B不正确;对于C,利用不等式的性质,可得结论成立;对于D,a=-1,b=2,满足<,但a<b,故D不正确。 答案　C 3.用反证法证明某命题时,对其结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为 (　　) A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 解析　反设应为“a,b,c中的偶数不是只有一个”,即a,b,c至少有两个偶数或都是奇数。 答案　D 4.如果a<b<0,则下列不等式成立的是 (　　) A.< B.ac2<bc2 C.a2<b2 D.a3<b3 解析　因为a<b<0,不妨令a=-2,b=-1,显然A,C不成立,D成立。当c=0时,B不成立。故选D。 答案　D 5.若-1<a<b<0,则有 (　　) A.<<b2<a2 B.<<a2<b2 C.<<b2<a2 D.<<a2<b2 解析　令a=-,b=-,则=-2,=-4,a2=,b2=,所以<<b2<a2。故选A。 答案　A 6.设α∈0,,β∈0,,则2α-的取值范围是 (　　) A.0,π B.-,π C.(0,π) D.-,π 解析　0<2α<π,0≤≤,所以-≤-≤0,由同向不等式相加得到-<2α-<π。故选D。 答案　D 二、多项选择题 7.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是 (　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc-ad>0,则->0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则> 解析　若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错;若ab>0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B对;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C对;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,==-1,故D错误。 答案　BC 8.已知<<0,给出下列四个结论,其中正确结论是 (　　) A.a<b B.a+b<ab C.|a|>|b| D.ab<b2 解析　A中,因为<<0,所以b<a<0,错误;B中,因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,正确;C中,因为b<a<0,所以|a|>|b|不成立;D中,ab-b2=b(a-b),因为b<a<0,所以a-b>0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab<b2成立。故选BD。 答案　BD 三、填空题 9.比较大小:a2+b2+c2　　　　2(a+b+c)-4。  解析　a2+b2+c2-[2(a+b+c)-4]=a2+b2+c2-2a-2b-2c+4=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1≥1>0,故a2+b2+c2>2(a+b+c)-4。 答案　> 10.若实数a,b满足0<a<2,0<b<1,则a-b的取值范围是　　　　。  解析　因为0<b<1,所以-1<-b<0,因为0<a<2,所以-1<a-b<2。 答案　(-1,2) 11.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于　　　　。  解析　假设a,b,c都小于,则a+b+c<1,与已知矛盾,故a,b,c中至少有一个数不小于。 答案　 四、解答题 12.(1)若a<b<0,求证:<。 (2)已知a>b,<,求证:ab>0。 证明　(1)-==,因为a<b<0,所以b+a<0,b-a>0,ab>0,所以<0,故<。 (2)因为<,所以-<0,即<0,而a>b,所以b-a<0,所以ab>0。 13.已知n∈N*,且n≥2,求证>-。 证明　证法一:(分析法) 要证>-,即证1>n-, 只需证>n-1, 因为n≥2,所以只需证n(n-1)>(n-1)2, 只需证n>n-1,只需证0>-1, 此时不等式显然成立,故原结论成立。 证法二:(分析法) 当n∈N*,且n≥2时,要证>-, 只需证>, 即证+>,因为>0,n-1>0,n>1,n∈N*且n≥2,所以原不等式成立。 证法三:(综合法) 因为n∈N*且n≥2,所以n-1>0,>0, +>>0, 两边同乘以,得>,