2.2.2 不等式的解集 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.2　不等式的解集 情境导入 课程标准 　　 如图为某三岔路口交通环道的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数相等)。你能用x3,x1,x2分别表示出x1,x2,x3吗? 1.理解不等式及不等式组的解集的概念,会利用不等式的性质解不等式或不等式组; 2.重温绝对值概念,了解绝对值不等式的几何意义,会解简单的绝对值不等式。 自主预习明新知 　 知识点一、不等式的解集与不等式组的解集 　　不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集。构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集。 知识点二、简单的绝对值不等式的解法 　　1.绝对值不等式的定义:含有绝对值的不等式。 2.绝对值不等式的解集。 不等式(m>0) 不等式的解集 |x|<m {x|-m<x<m} |x|>m {x|x>m或x<-m} 　　3.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法。 (1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c。 (2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c。 知识点三、绝对值不等式的几何意义 　　1.数轴上两点之间的距离公式:数轴上两点A(a),B(b)之间的距离AB=|a-b|。 2.数轴上两点的中点坐标公式:数轴上两点A(a),B(b)的中点坐标x=。 　　3.绝对值不等式的几何意义。 不等式(m>0) 解集的几何意义 |x|<m 数轴上与原点的距离小于m的所有数的集合 |x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合 |x-b|<m 数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合 |x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合 微思考 　　1.若m=0或m<0时,不等式的解集是怎样的? 提示: 不等式 m=0 m<0 |x|<m ⌀ ⌀ |x|>m {x∈R|x≠0} R 　　2.不等式|x+1|≤3的解集的几何意义是什么? 提示:数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合。 合作探究攻重难 　 类型一　不等式组的解法 　　【例1】　解不等式组并把解集在数轴上表示出来。 解　 解不等式①,得x<3;解不等式②,得x>-1。 在数轴上表示出来如图所示。 所以不等式组的解集为{x|-1<x<3}。 　　确定不等式组解集的两种方法 (1)口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无处找”。 (2)借助数轴,如果不等式组中有两个不等式,那么数轴上方两条线的公共部分就是不等式组的解集。 【变式训练】　(1)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为 (　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D 解析　解不等式x+1≥3,得x≥2;解不等式-2x-6>-4,得x<-1。故在数轴上表示正确的是B。 答案　B (2)已知点P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-3) B.(-3,1) C.(-3,+∞) D.(1,+∞) 解析　因为点P在第四象限,则其横坐标为正,纵坐标为负,所以可列不等式组解得a<-3。故选A。 答案　A 类型二　绝对值不等式的解法 　　【例2】　解下列不等式: (1)|x-1|≤2; (2)3≤|x-2|<4; (3)|2x-1|<2-3x。 解　(1)因为|x-1|≤2⇔-2≤x-1≤2⇔-1≤x≤3, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤3}。 (2)3≤|x-2|<4⇔3≤x-2<4或-4<x-2≤-3。 即5≤x<6或-2<x≤-1。 所以原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}。 (3)|2x-1|<2-3x可化为 或即或 所以≤x<或x<, 即不等式的解集为。 　　两种类型的绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|<c(c>0)⇔-c<ax+b<c。 (2)|ax+b|>c(c>0)⇔ax+b>c或ax+b<-c。 这两种类型的不等式的解法实质上是绝对值不等式的几何意义的应用: |x|<c(c>0)⇔-c<x<c; |x|>c(c>0)⇔x<-c或x>c。 【变式训练】　解下列不等式: (1)|3-2x|-4≥0; (2)2<|3x-1|<3; (3)|2x-1|<x。 解　(1)|3-2x|-4≥0⇔|2x-3|≥4⇔2x-3≥4或2x-3≤-4⇔2x≥7或2x≤-1⇔x≥或x≤-。 所以原不等式的解集为。 (2)2<|3x-1|<3⇔2<3x-1<3或-3<3x-1<-2⇔3<3x<4或-2<3x<-1⇔1<x<或-<x<-。 所以原不等式的解集为x-