2.2.1 不等式及其性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 情境导入 课程标准 　　在日常生活中,糖水中加些糖后就会变得更甜,也可以用不等式来表示这一现象。若a克糖水中含b克糖(a>b>0),再加m(m>0)克糖,全部溶解后糖水更甜,用一个不等式来表示这个现象为>。 1.理解不等式的概念; 2.掌握不等式的性质。 自主预习明新知 　 知识点一、不等关系与不等式 　　1.在现实世界里,量与量之间的不等关系是普遍的,不等式是刻画不等关系的工具。我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式。 2.在上述不等式符号中,要特别注意“≥”“≤”。事实上,任意给定两个实数a,b,那么 a≥b⇔a>b或a=b, a≤b⇔a<b或a=b。 3.比较两个实数(代数式)大小。 (1)a-b<0⇔a<b, (2)a-b=0⇔a=b, (3)a-b>0⇔a>b。 知识点二、不等式的性质 　　性质1　如果a>b,那么a+c>b+c。 性质2　如果a>b,c>0,那么ac>bc。 性质3　如果a>b,c<0,那么ac<bc。 性质4　如果a>b,b>c,那么a>c。 性质5　a>b⇔b<a。 推论1　如果a+b>c,那么a>c-b。 推论2　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d。 推论3　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd。 推论4　如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1)。 推论5　如果a>b>0,那么>。 知识点三、不等式的证明方法 　　1.通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法称为作差法。 2.从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法称为综合法。 3.首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的方法。 4.“要证p,只需证明q”,可以表示为p⇐q,这种方法称为分析法,分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件。 微提醒 　　(1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 合作探究攻重难 　 类型一　作差法比较大小 　　【例1】　比较下列各组中的两个代数式的大小: (1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1。 解　(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2x-2+≥>0, 所以2x2+3>x+2。 (2)(a+2)-= ==。 由于a2+a+1=a+2+≥>0, 所以当a>1时,>0,即a+2>; 当a<1时,<0,即a+2<。 故当a>1时,a+2>; 当a<1时,a+2<。 　　作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:①作差;②变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;③定号,即确定差的符号;④下结论,写出两个代数式的大小关系。 【变式训练】　若m≠n,x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x与y的大小关系是 (　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.与m,n的取值有关 解析　x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2m+2+n2,因为m≠n,所以x-y>0,x>y。故选A。 答案　A 类型二　不等式的性质判断真假 　　【例2】　对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; (3)若c>a>b>0,则>; (4)若a>b,>,则a>0,b<0; (5)若a<b<0,则>。 解　(1)当c=0时,有ac2=bc2。故该结论错误。 (2)由可得a2>ab。因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2。故该结论正确。 (3)由a>b>0,可得-a<-b<0。因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>>0,于是>。故该结论正确。 (4)由>,可知-=>0。因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0。又因为a>b,所以a>0,b<0。故该结论正确。 (5)依题意取a=-2,b=-1,则=,=2,显然<。故该结论错误。 　　(1)解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法。 (2)注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒<,不能误认为是a>b⇒<,在应用时不能出错。 【变式训练】　(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.ab>bc